Теорема о замкнутом графике

• Линейный оператор ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график ${\displaystyle \Gamma _{T}:=\{(x,y)\in X\times Y|y=Tx\}}$ замкнут в пространстве ${\displaystyle X\times Y}$.
• Линейный оператор ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset X}$, такой что ${\displaystyle x_{n}\to x}$ и ${\displaystyle Tx_{n}\to y}$, выполняется ${\displaystyle y=Tx}$.

• Первая из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; а именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством, а Y — пространством Фреше.

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица.

• Доказательство теоремы о замкнутом графике (англ.)