Теорема Хеллингера — Тёплица

Теорема Хеллингера — Тёплица — результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве.

Формулировка

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Если для линейного оператора $A:\,H\to H$ существует линейный оператор $B:\,H\to H$ , удовлетворяющий условию $(Ax,y)=(x,By)\;\forall x,y\in H$ , то оператор $A$ является ограниченным.

В частности, ограниченным является любой симметрический оператор, заданный на всем пространстве, то есть линейный оператор, удовлетворяющий условию $(Ax,y)=(x,Ay)\;\forall x,y\in H$ .

Замечания

Существенным условием теоремы является условие определённости оператора на всём гильбертовом пространстве.

Следствия

Всякий симметрический оператор, определённый на всём гильбертовом пространстве, является самосопряжённым.
Самосопряжённый неограниченный оператор не может быть определён на всём гильбертовом пространстве.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.