Ограниченный оператор

Для линейного оператора часто приводят другие определения:[1]

• Будем называть линейный оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ ограниченным, если существует такая окрестность нуля ${\displaystyle U}$, что ${\displaystyle A(U)}$ является ограниченным множеством в ${\displaystyle Y}$.
• Будем называть линейный оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число ${\displaystyle C}$, что ${\displaystyle \|Ax\|\leq C\|x\|}$. Наименьшее из таких чисел ${\displaystyle C}$ обозначают через ${\displaystyle \|A\|}$ и называют нормой оператора ${\displaystyle A}$. Иными словами,

${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}$

Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха.

• Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным.[2]
• Обратно (Теорема Банаха), всякий непрерывный оператор является ограниченным.[1][2]

Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор.