Резольвента интегрального уравнения

Резольвента интегрального уравнения

f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(s,\;t)\varphi (t)\,dt=\varphi (s).\qquad (*)

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция $\Gamma (s,\;t,\;\lambda )$ переменных $s$ , $t$ и параметра $\lambda$ , что решение уравнения (*) представляется в виде:

u^{*}(s)=f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}\Gamma (s,\;t,\;\lambda )f(t)\,dt.

При этом $\lambda$ не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пример

Пусть уравнение (*) имеет ядро $K(s,\;t)=s+t$ , то есть само уравнение имеет вид:

\varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).

Тогда его резольвентой является функция

\Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1}{3}}\right)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.

Резольвента линейного оператора

Пусть $A$ — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция[1]

R(z)=(A-zE)^{-1}

,

где $E$ — тождественный оператор, а $z$ — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что $R(z)$ есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

Примечания

Операторнозначная функция — функция, значением которой является оператор.

См. также

Спектр оператора

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Операторнозначная функция — функция, значением которой является оператор.