Интегральное уравнение Фредгольма

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида

${\displaystyle \psi (s)=\int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt}$

где функция ${\displaystyle K}$ называется ядром уравнения, а оператор ${\displaystyle A}$, определяемый как

${\displaystyle A\varphi =\int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt}$, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

${\displaystyle g(t)=\int \limits _{a}^{b}\!K(t,s)f(s)\,ds}$

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра ${\displaystyle K(t,s)}$ и функции ${\displaystyle g(t)}$ найти функцию ${\displaystyle f(s)}$.

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть ${\displaystyle K(t,s)=K(t-s)}$, и пределы интегрирования ${\displaystyle \pm \infty }$, тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle f}$, а, следовательно, решение даётся формулой

${\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega t}\,d\omega }$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}}$ — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Необходимые и достаточные условия существования решения определяет теорема Пикара.

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

${\displaystyle \varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)}$.

Задача состоит в том, чтобы, имея ядро ${\displaystyle K(t,s)}$ и функцию ${\displaystyle f(t)}$, найти функцию ${\displaystyle \varphi (t)}$. При этом существование решения и его множественность зависит от числа ${\displaystyle \lambda }$, называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным). Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля — Неймана.

• Интегральные уравнения: Точные решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.

• Интегральные уравнения: Методы решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.

А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.