Теория Фредгольма

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:

${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy}$.

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:

${\displaystyle Lg(x)=f(x)}$,

где функция ${\displaystyle f}$ — задана, а ${\displaystyle g}$ — неизвестна. Здесь ${\displaystyle L}$ — линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за ${\displaystyle L}$ эллиптический оператор:

${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$,

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:

${\displaystyle LK(x,y)=\delta (x-y)}$,

где ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функция Дирака. Далее:

${\displaystyle g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy}$.

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция ${\displaystyle K(x,y)}$ известна как функция Грина, или ядро интеграла.

В общей теории, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или ${\displaystyle m}$-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

${\displaystyle L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)}$,

где ${\displaystyle \omega _{n}}$ — собственные числа, а ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ — собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}}$,

где ${\displaystyle \psi _{n}^{*}}$ — двойственен к ${\displaystyle \psi _{n}}$. В данной форме, объект ${\displaystyle K(x,y)}$ часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:

${\displaystyle \delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}$.

Поскольку ${\displaystyle \omega _{n}}$ обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора ${\displaystyle K(x,y)}$ убывают к нулю.

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:

${\displaystyle f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy}$

может быть написано формально как:

${\displaystyle f=(K-\omega )\phi }$.

Тогда формальное решение:

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{K-\omega }}f}$.

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

${\displaystyle R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}}$.

Заданному набору собственных векторов и собственных значений ${\displaystyle K}$ можно сопоставить резольвенту конкретного вида:

${\displaystyle R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}}$

с решением:

${\displaystyle \phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy}$.

Необходимое и достаточное условие существования такого решения — одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням ${\displaystyle \lambda =1/\omega }$, в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:

${\displaystyle g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy}$

Резольвента пишется в альтернативной форме:

${\displaystyle R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}}$.

Определитель Фредгольма обычно определяется как:

${\displaystyle \det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]}$,

где ${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx}$, ${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy}$ и так далее. Соответствующая дзета-функция:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.}$

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта — Пойа.

Классические результаты данной теории — это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.

Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро — это компактный оператор, где пространство функций — это пространство равностепенно непрерывных функций.

Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на компактных многообразиях.

Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica — одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений Фредгольма.

• E. I. Fredholm, «Sur une classe d’equations fonctionnelles», Acta Mathematica , 27 (1903) pp. 365—390.
• D. E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• B. V. Khvedelidze, G.L. Litvinov (2001), «Fredholm kernel», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bruce K. Driver, «Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem», Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579—600.
• Robert C. McOwen, «Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds», Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169—185.

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.