Теория операторов

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение ${\displaystyle T}$ из векторного пространства ${\displaystyle X}$ в векторное пространство ${\displaystyle Y}$ называется линейным оператором если ${\displaystyle T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)}$ для любых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle X}$ и любых скаляров ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Часто пишут ${\displaystyle Tx}$ вместо ${\displaystyle T(x)}$. Линейный оператор из нормированного пространства ${\displaystyle X}$ в нормированное пространство ${\displaystyle Y}$ называется ограниченным если найдется положительное вещественное число ${\displaystyle M}$ такое что ${\displaystyle \lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert }$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$. Наименьшая константа ${\displaystyle M}$ удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора ${\displaystyle T}$ и обозначается ${\displaystyle \lVert T\rVert }$. Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства ${\displaystyle X}$ в нормированное пространство ${\displaystyle Y}$ обозначается ${\displaystyle L(X,\;Y)}$. В случае когда ${\displaystyle X=Y}$ пишут ${\displaystyle L(X)}$ вместо ${\displaystyle L(X,\;X)}$. Если ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство, то обычно пишут ${\displaystyle B(H)}$ вместо ${\displaystyle L(H)}$. На ${\displaystyle L(X,\;Y)}$ можно ввести структуру векторного пространства через ${\displaystyle (T+S)x=Tx+Sx}$ и ${\displaystyle (\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha (Tx)}$, где ${\displaystyle T,\;S\in L(X,\;Y)}$, ${\displaystyle x,\;y\in X}$, а ${\displaystyle \alpha }$ — произвольный скаляр. С введённой операторной нормой ${\displaystyle L(X,\;Y)}$ превращается в нормированное пространство.

В частности, ${\displaystyle \lVert S+T\rVert \leqslant \lVert S\rVert +\lVert T\rVert }$ и ${\displaystyle \lVert \alpha T\rVert =\left|\alpha \right|\cdot \lVert T\rVert }$ для любых ${\displaystyle T,\;S\in L(X,\;Y)}$ и произвольного скаляра ${\displaystyle \alpha }$. Пространство ${\displaystyle L(X,\;Y)}$ является банаховым тогда и только тогда когда ${\displaystyle Y}$ — банахово.

Пусть ${\displaystyle X,\;Y}$ и ${\displaystyle Z}$ — нормированные пространства, ${\displaystyle S\in L(X,\;Y)}$ и ${\displaystyle T\in L(Y,\;Z)}$. Композиция ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ обозначается ${\displaystyle TS}$ и называется произведением операторов ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$. При этом ${\displaystyle TS\in L(X,\;Z)}$ и ${\displaystyle \lVert TS\rVert \leqslant \lVert T\rVert \cdot \lVert S\rVert }$. Если ${\displaystyle X}$ — банахово пространство, то ${\displaystyle L(X)}$, оснащённое произведением, является банаховой алгеброй.

В теории операторов можно выделить несколько основных разделов:

1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
2. Классы операторов. В частности, компактные операторы, фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
   • На гильбертовых пространствах изучают самосопряжённые, нормальные, унитарные, положительные операторы и др.
   • На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом и др.
   • На банаховых решётках: положительные операторы, регулярные операторы и др.
4. Совокупности операторов (то есть, подмножества ${\displaystyle L(X)}$): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
5. Теория инвариантных подпространств.