Двойственное пространство
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Определение
Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве , также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается . Множество всех линейных функционалов на , не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к , оно обычно обозначается [1].
В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на . В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда бесконечномерное, вообще говоря, [1].
В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный, индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный, индекс).
Двойственные отображения
Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.
Пусть — векторные пространства, а — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения двойственное отображение (в обратном порядке) определяется как
для любого .
Свойства
Конечномерные пространства[2]
- Сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем . Следовательно, пространства и изоморфны.
- Каждому базису пространства можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис пространства , где функционал — проектор на вектор :
- Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между и существует так называемый канонический изоморфизм (то есть изоморфизм, не зависящий от выбранных базисов), определённый соотношением
- Второе сопряжённое пространство изоморфно . Более того, существует канонический изоморфизм между и (при этом не предполагается, что пространство евклидово), определённый соотношением
- Определенный выше канонический изоморфизм показывает, что пространства и играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для часто пишут подобно записи скалярного произведения.
Бесконечномерные пространства
- Если векторное пространство нормированное, то сопряжённое пространство имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство — банахово[3][1].
- Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и , причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства [4].
- Сопряжённым к пространству , , является пространство , где . Аналогично, сопряжённым к , , является с тем же соотношением между p и q.
Вариации и обобщения
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
- При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
Примечания
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.
- Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965, стр. 147.
- Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.