L^p (пространство)

Для построения пространств ${\displaystyle L^{p}}$ используются ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$-пространства. Пространство ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ для пространства с мерой ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ и ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

${\displaystyle \int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty }$.

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ линейно.

На линейном пространстве ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ вводится полунорма:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p}}}$.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы[1]

Далее, на ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ вводится отношение эквивалентности: ${\displaystyle f\sim g}$, если ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ почти всюду. Это отношение разбивает пространство ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}/\sim }$ можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)}$ с построенной на нём нормой, и называется пространством ${\displaystyle L^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ или просто ${\displaystyle L^{p}}$.

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами ${\displaystyle L^{p}}$ называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle L^{p}}$ не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[2], однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Норма на ${\displaystyle L^{p}}$ вместе с линейной структурой порождает метрику:

${\displaystyle d(f,\;g)=\|f-g\|_{p}}$,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}}$ называют сходящейся к функции ${\displaystyle f\in L^{p}}$, если:

${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{p}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$.

Согласно теореме Риса — Фишера, пространство ${\displaystyle L^{p}}$ полно, то есть любая фундаментальная последовательность в ${\displaystyle L^{p}}$ сходится к элементу этого же пространства. Таким образом ${\displaystyle L^{p}}$ — банахово пространство.

В случае ${\displaystyle p=2}$ норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве ${\displaystyle L^{2}}$ вводится следующим образом:

${\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)}$,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

${\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)}$,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle }}}$,

то есть норма порождается скалярным произведением. В виду полноты любого ${\displaystyle L^{p}}$ следует, что ${\displaystyle L^{2}}$ — гильбертово.

Пространство ${\displaystyle L^{\infty }}$ строится из пространства ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|}$, где ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup }$ — существенный супремум функции.

${\displaystyle L^{\infty }}$ — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

${\displaystyle f_{n}\to f}$ в ${\displaystyle L^{\infty }}$, если ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$.

• Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве ${\displaystyle L^{p}}$. Пусть ${\displaystyle f_{n}(x)=n^{1/p}}$ при ${\displaystyle x\in (0,1/n]}$ и ${\displaystyle f_{n}(x)=0}$ при ${\displaystyle x\in (1/n,1]}$, ${\displaystyle f_{n}\in L^{p}}$. Тогда ${\displaystyle f_{n}\to 0}$ почти всюду. Но ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1}$. Обратное также неверно.
• Если ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{p}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$, то существует подпоследовательность ${\displaystyle f_{n_{k}}}$, такая что ${\displaystyle f_{n_{k}}\to f}$ почти всюду.
• ${\displaystyle L^{p}}$ функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть ${\displaystyle L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)}$ — подмножество ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)}$, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда ${\displaystyle L_{C^{\infty }}^{p}}$ всюду плотно в ${\displaystyle L^{p}}$.
• ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)}$ — сепарабельно при ${\displaystyle p<\infty }$.
• Если ${\displaystyle \mu }$ — конечная мера, например, вероятность, и ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty }$, то ${\displaystyle L^{q}\subset L^{p}}$. В частности, ${\displaystyle L^{2}\subset L^{1}}$, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Для пространств ${\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }}$, сопряжённое к ${\displaystyle L^{p}}$ (пространств линейных функционалов на ${\displaystyle L^{p}}$) имеет место следующее свойство: если ${\displaystyle 1<p<\infty }$, то ${\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }}$ изоморфно ${\displaystyle L^{q}}$ (${\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}}$), где ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Любой линейный функционал на ${\displaystyle L^{p}}$ имеет вид:

${\displaystyle g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),}$

где ${\displaystyle {\tilde {g}}(x)\in L^{q}}$.

В силу симметрии уравнения ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$, само пространство ${\displaystyle L^{p}}$ дуально (с точностью до изоморфизма) к ${\displaystyle L^{q}}$, а следовательно:

${\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.}$

Этот результат справедлив и для случая ${\displaystyle p=1}$, то есть ${\displaystyle \left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }}$. Однако ${\displaystyle \left(L^{\infty }\right)^{\star }\not \cong L^{1}}$ и, в частности, ${\displaystyle \left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}}$.

Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)}$, где ${\displaystyle m}$ — счётная мера на ${\displaystyle \mathbb {N} }$, то есть ${\displaystyle m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N} }$. Тогда если ${\displaystyle p<\infty }$, то пространство ${\displaystyle \ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)}$ представляет собой семейство последовательностей вида ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, таких что:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty }$.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$.

Получившееся нормированное пространство обозначается ${\displaystyle \ell ^{p}}$.

Если ${\displaystyle p=\infty }$, то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|}$.

Получившееся пространство называется ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив ${\displaystyle p=2}$, получается гильбертово пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$, чья норма порождена скалярным произведением:

${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}}}$,

если последовательности комплекснозначные, и:

${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n}},}$

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с ${\displaystyle \ell ^{p}}$, где ${\displaystyle 1<p<\infty }$ изоморфно ${\displaystyle \ell ^{q}}$, ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Для ${\displaystyle p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }}$. Однако ${\displaystyle \left(\ell ^{\infty }\right)^{\star }\not \cong \ell ^{1}}$.

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.