Теорема Риса — Фишера

Теорема Риса — Фишера — утверждение функционального анализа об изометричности и изоморфности пространства Лебега и пространства Гильберта .

Доказана в 1907 году независимо Фридьешем Рисом и Эрнстом Фишером (нем. Ernst Sigismund Fischer).

Доказательство

Возьмём в пространстве какую-нибудь полную ортонормальную систему . Тогда для любого имеем , причем в силу равенства Парсеваля . Таким образом, последовательность коэффициентов Фурье функции можно рассматривать как элемент гильбертова пространства . При этом соответствие однозначно. Пусть, наоборот, дан элемент гильбертова пространства . Рассмотрим в формально ряд , где  — та же самая полная ортонормальная система. Последовательность частичных сумм этого ряда сходится в среднем в себе, ибо при и в силу сходимости ряда . Так как пространство полное, это значит, что ряд сходится, его сумма имеет коэффициенты Фурье и эту сумму ставим в соответствие элементу . Опять соответствие однозначно. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространства и . Так как, очевидно и , то из следует , то есть установленное нами соответствие есть изоморфизм. Наконец, для любых двух элементов имеем в силу равенства Парсеваля и установленное нами соответствие сохранит расстояние, то есть и изометричны.

Литература

  • Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.