Теорема Риса — Фишера

Возьмём в пространстве ${\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}$ какую-нибудь полную ортонормальную систему ${\displaystyle \left\{\varphi _{i}(t)\right\}}$. Тогда для любого ${\displaystyle x(t)\in L_{2}\left(a,b\right)}$ имеем ${\displaystyle x(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t),\xi _{i}=\left(x,\varphi _{i}\right)}$, причем в силу равенства Парсеваля ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}^{2}=\left\|x\right\|^{2}<\infty }$. Таким образом, последовательность коэффициентов Фурье функции ${\displaystyle x(t)\in L_{2}\left(a,b\right)}$ можно рассматривать как элемент ${\displaystyle x\in l_{2}}$ гильбертова пространства ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle x=\left\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n},...\right\}}$. При этом соответствие ${\displaystyle x(t)\rightarrow x}$ однозначно. Пусть, наоборот, дан элемент ${\displaystyle {\bar {y}}=\left\{\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{n},...\right\}}$ гильбертова пространства ${\displaystyle l_{2}}$. Рассмотрим в ${\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}$ формально ряд ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)}$, где ${\displaystyle \left\{\varphi _{i}(t)\right\}}$ — та же самая полная ортонормальная система. Последовательность ${\displaystyle s_{n}(t)=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}\varphi _{i}(t)}$ частичных сумм этого ряда сходится в среднем в себе, ибо ${\displaystyle \left\|s_{n+p}-s_{n}\right\|^{2}=\left\|\sum _{i=n+1}^{n+p}\eta _{i}\varphi _{i}(t)\right\|^{2}=\sum _{i=n+1}^{n+p}\eta _{i}^{2}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ и ${\displaystyle p>0}$ в силу сходимости ряда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}^{2}}$. Так как пространство ${\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}$ полное, это значит, что ряд ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)}$ сходится, его сумма имеет коэффициенты Фурье ${\displaystyle \eta _{i}}$ и эту сумму ${\displaystyle y(t)\in L_{2}\left(a,b\right)}$ ставим в соответствие элементу ${\displaystyle {\bar {y}}}$. Опять соответствие ${\displaystyle {\bar {y}}\rightarrow y(t)}$ однозначно. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространства ${\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}$ и ${\displaystyle l_{2}}$. Так как, очевидно ${\displaystyle x(t)+y(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t)+\sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}+\eta _{i}\right)\varphi _{i}(t)}$ и ${\displaystyle \lambda x(t)=\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda \xi _{i}\varphi _{i}(t)}$, то из ${\displaystyle x(t)\leftrightarrow x,y(t)\leftrightarrow y}$ следует ${\displaystyle x(t)+y(t)\leftrightarrow x+y,\lambda x(t)\leftrightarrow \lambda x}$, то есть установленное нами соответствие есть изоморфизм. Наконец, для любых двух элементов ${\displaystyle x(t),y(t)\in L_{2}\left(a,b\right)}$ имеем в силу равенства Парсеваля ${\displaystyle \left\|x(t)-y(t)\right\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}-\eta _{i}\right)\varphi _{i}(t)\right\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}-\eta _{i}\right)^{2}=\left\|x-y\right\|^{2}}$ и установленное нами соответствие сохранит расстояние, то есть ${\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ изометричны.

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.