Почти всюду

Об утверждении, зависящем от точки пространства с мерой, говорят, что оно выполнено почти всюду, если множество точек, для которых оно не выполнено, имеет меру ноль[1].

Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду. Например для функций $f$ и $h$ выражение

f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}h

означает, что равенство

f(x)=h(x)

выполняется при почти всех значениях переменной $x$ .

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой. Обозначим символом $T$ множество точек из $X$ , для которых верно некоторое утверждение ${\mathcal {A}}$ . Говорят, что утверждение ${\mathcal {A}}$ выполнено почти всюду (п.в.), если

(X\setminus T)\subset A,\mu (A)=0

Замечания

Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым.
Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).

Примеры

Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо $m(\mathbb {Q} )=0$ , где $m$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$ .
Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. также

Сходимость почти всюду

Примечания

ПОЧТИ ВСЮДУ — Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[dic.academic.ru-1] ПОЧТИ ВСЮДУ — Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.