Сходимость почти всюду

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, и ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }$. Говорят, что ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится почти всюду, и пишут ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle \mu }$-п.в., если[1]

${\displaystyle \mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0}$.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
• Пусть ${\displaystyle f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )\;\forall n\in \mathbb {N} }$, где ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, и ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится почти всюду к ${\displaystyle f}$. Пусть также существует функция ${\displaystyle g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ такая, что ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq |g(x)|}$ для всех ${\displaystyle n}$ и почти всех ${\displaystyle x\in X}$ (суммируемая мажоранта). Тогда ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, и ${\displaystyle f_{n}\to f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в ${\displaystyle L^{p}}$. Например, последовательность функций ${\displaystyle n\chi _{[0,1/n]}}$ сходится к 0 почти всюду на ${\displaystyle [0,1]}$, но не сходится в ${\displaystyle L^{1}[0,1]}$.
• Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно[3].

• Почти всюду