Сходимость по мере

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой. Пусть ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ^{m},\;n=1,2,\ldots }$ — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится по мере к функции ${\displaystyle f}$, если

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\mu (\{x\in X\mid \|f_{n}(x)-f(x)\|>\varepsilon \})=0}$.

Обозначение: ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f}$.

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ с определёнными на нём случайными величинами ${\displaystyle X_{n},X,\;n=1,2,\ldots }$, то говорят, что ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится по вероятности к ${\displaystyle X}$, если

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} (|X_{n}-X|>\varepsilon )=0}$.

Обозначение: ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}X}$.

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

• Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится по мере к ${\displaystyle f}$, то у неё существует подпоследовательность ${\displaystyle f_{n_{k}}}$, сходящаяся к ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$-почти всюду.

• Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится по мере к ${\displaystyle f}$ тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности ${\displaystyle f_{n}}$ существует подпоследовательность, которая сходится к ${\displaystyle f}$ почти всюду.

• Если последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится по мере к ${\displaystyle f}$, и ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;|f_{n}|\leqslant g}$, где ${\displaystyle g\in L^{p},\;p\geqslant 1}$, то ${\displaystyle f_{n},f\in L^{p}}$, и ${\displaystyle f_{n}}$ сходится к ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$.

• Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится ${\displaystyle \mu }$-почти всюду к ${\displaystyle f}$, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится в ${\displaystyle L^{p}}$ к ${\displaystyle f}$, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность случайных величин ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по вероятности к ${\displaystyle X}$, то она сходится к ${\displaystyle X}$ и по распределению.
• Если последовательность случайных величин ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по вероятности к ${\displaystyle X}$, то для любой непрерывной функции ${\displaystyle f(x)}$ верно что ${\displaystyle f(X_{n})\to f(X),n\to \infty }$. Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to X+Y,n\to \infty }$