Сходимость в Lp

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой. Тогда пространство ${\displaystyle L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ измеримых функций, таких что их ${\displaystyle p}$-я степень, где ${\displaystyle p\geqslant 1}$, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{p}\equiv \left(\,\int \limits _{X}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mu (dx)\,\right)^{1/p}}$.

Пусть дана последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}}$. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в ${\displaystyle L^{p}}$ к функции ${\displaystyle f\in L^{p}}$, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=0}$.

Пишут: ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$. Иногда также используют обозначение ${\displaystyle f(x)=\mathop {\mathrm {l.i.m.} } _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ — от англ.  англ. limit in mean .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ сходится к ${\displaystyle X}$ из того же пространства, если

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} |X_{n}-X|^{p}=0}$.

Пишут: ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}X}$.

• Сходимость в пространстве ${\displaystyle L^{1}}$ называется сходимостью в среднем.
• Сходимость в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$ называется сходимость в среднеквадратичном.

• Единственность предела. Если ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$ и ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}g}$, то ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$-почти всюду (${\displaystyle \mathbb {P} }$-почти наверное).

• Пространство ${\displaystyle L^{p}}$ полно. Если ${\displaystyle \|f_{n}-f_{m}\|_{p}\to 0}$ при ${\displaystyle \min(n,m)\to \infty }$, то существует ${\displaystyle f\in L^{p}}$, такой что ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$.

• Сходимость в ${\displaystyle L^{p}}$ влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$, то ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f}$.