Случайный элемент

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное, а ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ — измеримое пространство. Тогда измеримая функция ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )\to (E,{\mathcal {E}})}$ называется случайным элементом (со значениями в ${\displaystyle E}$) или ${\displaystyle E}$-значной случайной величиной.

Если ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — числовая ось, а ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелевская ${\displaystyle \sigma }$-алгебра её подмножеств, то определение С.э. совпадает с определением случайной величины.

Определение С.э. ${\displaystyle X}$ в банаховом пространстве ${\displaystyle B}$, напоминает определение случайной величины. Пусть ${\displaystyle B^{*}}$ — сопряжённое к ${\displaystyle B}$ пространство. Отображение ${\displaystyle X=X(\omega )}$ пространства ${\displaystyle \Omega }$ элементарных событий ${\displaystyle \omega }$ в ${\displaystyle B}$ называется случайным элементом, если всякий непрерывный линейный функционал ${\displaystyle X^{*}(X(\omega ))}$ оказывается при этом случайной величиной. На С.э. в банаховом пространстве могут быть распространены основные понятия теории вероятностей, такие, как характеристическая функция, математическое ожидание, ковариация и т. п.

Для С.э. со значениями в произвольных пространствах некоторые основные понятия теории вероятностей не могут быть определены. Например, невозможно определить классическое понятие математического ожидания для С.э., пространство значений которого не является линейным (Случайное конечное абстрактное множество, случайное множество событий). В таких ситуациях обычно используются те или иные аналоги классических понятий (Среднемерное множество).

• Случайная величина
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина
• Комплексная случайная величина
• Простая случайная величина
• Случайный вектор
• Случайная матрица
• Случайная функция
• Случайный процесс
• Случайное поле
• Случайная мера
• Случайное множество
• Случайное замкнутое множество
• Случайное компактное множество
• Случайная «точка»
• Случайная фигура
• Случайная форма
• Случайное конечное множество
• Случайное конечное абстрактное множество
• Случайное множество событий

• Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215—310.
• Ширяев А. Н. (1980) Вероятность. — М.: Наука, 576с.

• Измеримая функция