Случайное множество

Случайное множество — измеримое отображение семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства в некоторое пространство , элементами которого являются множества.

Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если  — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:

  •  — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства , называемого базовым), тогда случайное множество есть случайное замкнутое множество;
  •  — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
  •  — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам[1]
  •  — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
  •  — подпространство выпуклых элементов , при этом получают случайное выпуклое множество.

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множеств, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множество со свойством , где счётно и всюду плотно в .

Важными частными классами случайного множества являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»[2]; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).

Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т. п.).

Примечания

  1. Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
  2. Kendall D.G. (1974) в кн: Stochastic geometry, N.Y.

Литература

  • Choquet G. (1953-54) «Ann.Inst.Fourier», t.5, р. 131—295;
  • Ляшенко Н. Н. (1999) Случайное множество. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: БРЭ.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.