Характеристическая функция случайной величины

Пусть есть случайная величина ${\displaystyle X}$ с распределением ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]}$.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)}$,

то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина ${\displaystyle X}$ принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, то её характеристическая функция имеет вид:

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle t,X\rangle }\right],\;\forall t\in {\mathcal {H}}}$,

где ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ обозначает скалярное произведение в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Если случайная величина ${\displaystyle X}$ дискретна, то есть ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots }$, то

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}}$.

Пример. Пусть ${\displaystyle X}$ имеет распределение Бернулли. Тогда

${\displaystyle \phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q}$.

Если случайная величина ${\displaystyle X}$ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность ${\displaystyle f_{X}(x)}$, то

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx}$.

Пример. Пусть ${\displaystyle X\sim U[0,1]}$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}}$.

• Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть ${\displaystyle X,Y}$ есть две случайные величины, и ${\displaystyle \phi _{X}(t)=\phi _{Y}(t),\;\forall t}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}}$. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
• Характеристическая функция всегда ограничена:

${\displaystyle |\phi _{X}(t)|\leq 1,\ \forall t\in \mathbb {R} }$.

• Характеристическая функция в нуле равна единице:

${\displaystyle \phi _{X}(0)\ =1}$.

• Характеристическая функция всегда равномерно непрерывна: ${\displaystyle \phi _{X}\in C(\mathbb {R} )}$.
• Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

${\displaystyle \phi _{aX}(t)=\phi _{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R} }$.

• Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ суть независимые случайные величины. Обозначим ${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$. Тогда

${\displaystyle \phi _{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(t)}$.

• Характеристическая функция эрмитова: для всех вещественных ${\displaystyle t}$ верно равенство ${\displaystyle \phi _{X}(-t)={\overline {\phi }}_{X}(t)}$, где ${\displaystyle {\overline {\phi }}_{X}(t)}$ означает комплексно сопряжённую с ${\displaystyle \phi _{X}(t)}$ функцию[1].
• Теорема обращения (Леви). Пусть ${\displaystyle F}$ - функция распределения, а ${\displaystyle \phi }$ - её характеристическая функция. Если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ - точки непрерывности ${\displaystyle F}$, то

${\displaystyle F(b)-F(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^{-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\phi (t)\,dt.}$

• Характеристическая функция положительно определена: при каждом целом ${\displaystyle m>0}$ для любых вещественных чисел ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m}}$ и любых комплексных чисел ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j}}}\geqslant 0}$[2]. Здесь ${\displaystyle {\bar {z_{j}}}}$ означает комплексно сопряжённое к ${\displaystyle z_{j}}$ число.

Если случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет начальный ${\displaystyle n}$-й момент, то характеристическая функция имеет непрерывную ${\displaystyle n}$-ю производную, то есть ${\displaystyle \phi _{X}\in C^{n}(\mathbb {R} )}$, и более того:

${\displaystyle i^{n}\left.\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}(t)\right\vert _{t=0}}$.

Пусть дана случайная величина ${\displaystyle X}$, чья характеристическая функция равна ${\displaystyle \phi _{X}(t)\ }$. Тогда

• если ${\displaystyle X}$ дискретна и принимает целые значения, то

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{-itk}\,\phi _{X}(t)\,dt,\;k\in \mathbb {Z} }$;

• если ${\displaystyle X}$ абсолютно непрерывна, и ${\displaystyle f_{X}(x)}$ — её плотность, то

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\,\phi _{X}(t)\,dt,\;x\in \mathbb {R} }$.

Чтобы функция ${\displaystyle \varphi (t)}$ была характеристической функцией какой-то случайной величины, достаточно, чтобы ${\displaystyle \varphi (t)}$ была неотрицательной, чётной, непрерывной, выпуклой вниз функцией, ${\displaystyle \varphi (0)=1}$ и ${\displaystyle \varphi (t)\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ (теорема Титчмарша — Пойа).

Пусть ${\displaystyle \varphi (u)}$ - непрерывная функция ${\displaystyle u\in R^{n}}$ и ${\displaystyle \varphi (0)=1}$. Для того, чтобы функция ${\displaystyle \varphi (u)}$ была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определённой функцией, то есть при каждом целом ${\displaystyle m>0}$ для любых вещественных чисел ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m}}$ и любых комплексных чисел ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j}}}\geqslant 0}$ (Теорема Бохнера — Хинчина). Здесь ${\displaystyle {\bar {z_{j}}}}$ означает комплексно сопряжённое к ${\displaystyle z_{j}}$ число[2].

• Теорема Леви о непрерывности (метод характеристических функций).
• Прямая и обратная предельная теорема
• Теорема Титчмарша — Пойа
• Теорема Бохнера — Хинчина

• Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972.
• Лукач Е. Характеристические функции. - М., Наука, 1979. - 424 с.