Теорема Леви о непрерывности

Пусть ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины ${\displaystyle X_{n}}$, где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, символом ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$. Тогда если ${\displaystyle X_{n}\to X}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$, и ${\displaystyle \varphi (t)}$ — характеристическая функция ${\displaystyle X}$, то

${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} }$.

Обратно, если ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle \varphi \in C(0)}$ — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то ${\displaystyle \varphi (t)}$ является характеристической функцией некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$, и

${\displaystyle X_{n}\to X}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$.

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$ — характеристическая функция ${\displaystyle X_{n}}$, и ${\displaystyle \varphi (t)}$ — характеристическая функция ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle X_{n}\to X}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

• Леви, Поль.
• Прямая и обратная предельная теорема.