Сходимость по распределению

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и определённые на нём случайные величины ${\displaystyle X,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m},\,n=1,2,\ldots }$. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, называемую её распределением.

Случайные величины ${\displaystyle X_{n}}$ сходятся по распределению к случайной величине ${\displaystyle X}$, если распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X_{n}}}$ слабо сходятся к распределению ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$, то есть

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X_{n}}(dx)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)}$

для любой непрерывной ограниченной[1][2] функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$.

• Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} f(X_{n})=\mathbb {E} f(X)}$.

• Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

• Случайные величины ${\displaystyle X_{n}}$ сходятся по распределению к ${\displaystyle X}$, если их функции распределения ${\displaystyle F_{X_{n}}}$ сходятся к функции распределения предела ${\displaystyle F_{X}}$ во всех точках непрерывности последней:

${\displaystyle F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)}$.

• Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{X_{n}}(x)\to f_{X}(x)}$ почти всюду,

то ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$. Обратное, вообще говоря, неверно!

• Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в ${\displaystyle L^{p}}$) влечёт сходимость по распределению:

${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }X\Rightarrow X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$.

Обратное, вообще говоря, неверно.

• Теорема Слуцкого