Преобразование Фурье

Вообще говоря, чем больше концентрация f(x), тем более размазанным должно быть её преобразование Фурье f̂(ω). В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в x раз, то её преобразование Фурье растягивается в ω раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.

Компромисс между уплотнением функции и её преобразованием Фурье можно формализовать в виде принципа неопределенности, рассматривая функцию и её преобразование Фурье как сопряженные переменные относительно симплектической формы на время-частоту: c точки зрения линейного канонического преобразования, преобразование Фурье является поворотом на 90° во временно-частотной области и сохраняет симплектическую форму.

Предположим, что f(x) — интегрируемая и квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма выражается как

${\displaystyle ||f||_{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$

Из теорема Планшереля следует, что f̂(ω) также нормировано.

Разброс вокруг математического ожидания ${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x)|^{2}\,dx}$ может быть измерен дисперсией, определяемой как

${\displaystyle (\Delta f)^{2}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$.

В терминах вероятности это центральный второй момент функции ${\displaystyle |f(x)|^{2}}$.

Принцип неопределённости гласит, что если f(x) абсолютно непрерывна, а функции x f(x) и f′(x) квадратично-интегрируемы, то

${\displaystyle (\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f}})^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$,

где нормировочный множитель перед преобразованием Фурье равен ${\displaystyle 1}$, при нормировочном множителе равном ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$ правое выражение переходит в ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$. Извлекая корни из обоих выражений правое выражение становится ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ соответственно, ${\displaystyle \Delta }$ определяет половину ширины окна (стандартное отклонение).

Равенство достигается только в случае

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{aligned}}}$

где σ > 0 произвольно и ${\displaystyle C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\sigma }}}}$ так, что f является L²-нормированным. Другими словами, где f — (нормированная) функция Гаусса с дисперсией σ², центрированная на нуле, а её преобразование Фурье — гауссовская функция с дисперсией σ^-2.

Фактически, из этого неравенства следует, что:

${\displaystyle \left({\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{||{\hat {f}}||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^{2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$

для любого x₀, ω₀ ∈ R.

В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принцип неопределенности Гейзенберга.

Более сильным принципом неопределенности является принцип неопределенности Хиршмана, который выражается как:

${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)}$

где H(p) — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p(x):

${\displaystyle H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$,

где логарифмы могут быть в любой последовательной базе. Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, определяется формулой

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx.}$

Здесь ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle x}$ — векторы пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle x\cdot \omega }$ — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{ix\cdot \omega }\,d\omega .}$

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции ${\displaystyle f}$ в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида ${\displaystyle e^{ix\cdot \omega }}$ с амплитудами ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}|{\hat {f}}(\omega )|}$, частотами ${\displaystyle \omega }$ и фазовыми сдвигами ${\displaystyle \arg {\hat {f}}(\omega )}$ соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

${\displaystyle {\widehat {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}}=i\omega _{k}{\hat {f}}(\omega ).}$

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}=(2\pi )^{n/2}{\hat {f}}{\hat {g}}.}$

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

${\displaystyle {\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a|).}$

• Более общо, если ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ — обратимое линейное отображение, то

${\displaystyle {\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{-1}\omega ).}$

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для ${\displaystyle 2\pi }$-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\,e^{inx}.}$

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой ${\displaystyle 2\pi }$-периодической функции имеем

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\delta (\omega -n).}$

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1}}$ — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен ${\displaystyle f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{n-1}t^{n-1}}$. Выберем какие-нибудь ${\displaystyle n}$ точек на комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{n-1}}$. Теперь многочлену ${\displaystyle f(t)}$ мы можем сопоставить новый набор из ${\displaystyle n}$ чисел: ${\displaystyle f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})}$. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел ${\displaystyle f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{n-1}}$ существует единственный многочлен ${\displaystyle f(t)}$ степени не выше ${\displaystyle n-1}$ с такими значениями в ${\displaystyle z_{0},\;\ldots ,\;z_{n-1}}$ соответственно (см. Интерполяция).

Набор ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора ${\displaystyle \{x_{k}\}}$. В качестве точек ${\displaystyle z_{k}}$ обычно выбирают корни ${\displaystyle n}$-й степени из единицы:

${\displaystyle z_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{n}}}$.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины ${\displaystyle n}$ напрямую требует порядка ${\displaystyle n^{2}}$ операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка ${\displaystyle n}$ операций.

${\displaystyle F(t,\;\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }\,d\tau ,}$

где ${\displaystyle F(t,\;\omega )}$ даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала ${\displaystyle f(t)}$ в окрестности момента времени ${\displaystyle t}$.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию ${\displaystyle W}$, причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором ${\displaystyle x_{k}}$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.