Импульс

Импульс
Импульс
Размерность	LMT−1
Единицы измерения
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
	векторная величина

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы $m$ этого тела на его скорость ${\vec {v}}$ , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

{\vec {p}}=m{\vec {v}}

В релятивистской физике импульс вычисляется как

{\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

,

где $c$ — скорость света; в пределе малых $v$ формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона

{\frac {{\mbox{d}}{\vec {p}}}{{\mbox{d}}t}}={\vec {F}}

.

Здесь $t$ — время, ${\vec {F}}$ — сила, приложенная к телу. В записи через импульс (в отличие от ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ , ${\vec {a}}$ — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.

История появления термина

Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1678 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус"[1]. В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Формальное абстрактное определение

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).

Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.

В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.

Определения импульса тела в механике

Классическая механика

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

{\vec {p}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}

,

соответственно величина ${\vec {p}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}$ называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:

{\vec {p}}=\int \rho (x,y,z){\vec {v}}(x,y,z)dxdydz

.

Стоящее под интегралом произведение ${\vec {s}}=\rho {\vec {v}}$ носит название плотности импульса.

Релятивистская механика

В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина

{\vec {p}}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}}

,

где $m_{i}$ — масса $i$ -й материальной точки, ${\vec {v}}_{i}$ — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой $m$ определяется как

p_{\mu }=(E/c,{\vec {p}})=\left({\frac {mc}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)

.

На практике часто применяются соотношения

E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad \qquad \mathbf {p} ={\frac {E}{c^{2}}}\,\mathbf {v}

между массой, импульсом и энергией частицы.

Свойства импульса

Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему[2].
Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСО.[2] При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона, ${\mbox{d}}{\vec {p}}/{\mbox{d}}t={\vec {F}}$ ).
Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени: ${\mbox{d}}{\vec {p}}/{\mbox{d}}t=0$ .

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю ${\vec {F}}_{i,ext}$ плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\vec {p}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\sum _{i}\left({\vec {F}}_{i,ext}+\sum _{j,j\neq j}{\vec {F}}_{i,j}\right)=\sum _{i}{\vec {F}}_{i,ext}+\sum _{i}\sum _{j,j\neq i}F_{i,j}

.

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые ${\vec {F}}_{a,b}$ и ${\vec {F}}_{b,a}$ в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[2]. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульса[3][4].

При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии взаимодействия такое суммирование теряет смысл.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса — это закон, утверждающий, что сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю[5]. В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил. Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства[6]. Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом[7].

Закон сохранения импульса в изолированных системах выполняется и в квантовой механике[8][9]. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс, как и в классической механике, равен $p=mv$ , а когда проявляются волновые свойства частиц, их импульс равен $p={\frac {\hbar }{\lambda }}$ , где $\lambda$ — длина волны[10]. В квантовой механике закон сохранения импульса является следствием симметрии относительно сдвигов по координатам[11].

Обобщённый импульс

В теоретической механике в целом

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

p_{i}={{\partial {\mathcal {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}

.

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, обозначается буквой ${\vec {p}}$ ; обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Скажем, если размерность $q_{i}$ — длина, то $p_{i}$ будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой $q_{i}$ выступает угол (величина безразмерная), то $p_{i}$ обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа $dp_{i}/dt=0$ .

Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид: ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ , отсюда: ${\vec {p}}=m{\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ .

Для частицы в электромагнитном поле

В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q\varphi +q{\vec {v}}\cdot {\vec {A}}$ . Соответственно, обобщённый импульс частицы равен

\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A}

,

где $\mathbf {A}$ — векторный потенциал электромагнитного поля, $q$ — заряд частицы; в выражении для ${\mathcal {L}}$ фигурировал также скалярный потенциал $\varphi$ .

Импульс электромагнитного поля

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

\mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} dV={\frac {1}{c^{2}}}\int [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]dV

(в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике

Определение через оператор

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

{\hat {\mathbf {P} }}=\sum _{j}{\hat {\mathbf {p} }}_{j}=\sum _{j}-i\hbar \nabla _{j}

,

где $\nabla _{j}$ — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам $j$ -ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

{\hat {H}}=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {\mathbf {p} }}_{i}^{2}+U(\mathbf {r_{1}} ,\dots )

.

Для замкнутой системы ( $U=0$ ) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны $\lambda$ :

p={\frac {h}{\lambda }}

,

где $h$ — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью $v\ll c$ (скорости света), модуль импульса равен $p=mv$ (где $m$ — масса частицы), и

\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}

.

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

{\vec {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}=\hbar {\vec {k}}

где ${\vec {k}}$ — волновой вектор.

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа $\rho$ . При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

{\vec {s}}=\rho {\vec {v}}

.

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[12]. Если в согласии с методом Рейнольдса представить $\rho ={\overline {\rho }}+\rho '$ , ${\vec {v}}={\overline {\vec {v}}}+{\vec {v}}'$ , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

\ {\overline {\vec {s}}}={\overline {\rho {\vec {v}}}}={\overline {\rho }}~{\overline {\vec {v}}}+{\vec {S}}

,

где $\ {\vec {S}}={\overline {\rho '{\vec {v}}'}}$ — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»[12]).

Импульсное представление в квантовой теории поля

В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных[13].

См. также

Примечания

Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.
Айзерман, 1980, с. 49.
Айзерман, 1980, с. 54.
Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 282. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — 4-е изд., испр. — М.: «Наука», 1988. — Т. I. Механика. — С. 26. — 215 с. — ISBN 5-02-013850-9.
Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — С. 222. — 416 с.
Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94
Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 276. — 670 с.
Фейнман Р. Ф. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 194. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.
Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — С. 183. — 367 с.
Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М., Наука, 1980. — с. 25

Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.

[_9be6326cbac55199-2] Айзерман, 1980, с. 49.

[_9be6336cbac55367-3] Айзерман, 1980, с. 54.

[4] Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325—362, (1956)

[Тарг-5] Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 282. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.

[ЛЛ-6] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — 4-е изд., испр. — М.: «Наука», 1988. — Т. I. Механика. — С. 26. — 215 с. — ISBN 5-02-013850-9.

[7] Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — С. 222. — 416 с.

[8] Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94

[9] Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 276. — 670 с.

[10] Фейнман Р. Ф. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 194. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.

[11] Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — С. 183. — 367 с.

[Monin-12] Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.

[13] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М., Наука, 1980. — с. 25

Словари и энциклопедии	Большая норвежская Большая российская Britannica (онлайн) Britannica (онлайн)
В библиографических каталогах	GND: 4130721-5 LCCN: sh85086658