Оператор импульса

Решение одномерного уравнения Шрёдингера в виде плоской волны имеет вид:

${\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)}}$

Производная первого порядка по координате:

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\Psi }$

Выражая ${\displaystyle k}$ из соотношения де Бройля:

${\displaystyle p=\hbar k}$

формула для производной ψ принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=i{\frac {p}{\hbar }}\Psi }$

Таким образом, получаем:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Величины, которые измеряются в эксперименте, — это собственные значения данного оператора.

Так как частная производная — это линейный оператор, оператор импульса также линеен. Поскольку каждая волновая функция может быть выражена как квантовая суперпозиция состояний, когда этот оператор импульса действует на всю суперпозицию волн, он даёт собственные значения для каждой плоской волны, сумма которых представляет собой результирующий импульс суперпозиции волн.

Уравнение в трёх измерениях записывается аналогично, за исключением оператора градиента, включающим в себя частные производные по координатам. В трёхмерном случае решение уравнения Шрёдингера в виде плоских волн будет следующим:

${\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

где градиент

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \Psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\\&=ik_{x}\Psi \mathbf {e} _{x}+ik_{y}\Psi \mathbf {e} _{y}+ik_{z}\Psi \mathbf {e} _{z}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\Psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \Psi \\\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {e} _{x}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{y}}$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$ — это единичные векторы для трёхмерности, а значит

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$

Это оператор импульса в координатном представлении — частные производные в нём берутся по отношению к пространственным переменным.

Оператор импульса относится к эрмитовым операторам[2].

Используя координатное или импульсное представление, можно показать, что:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .}$

Доказательство:

Распишем выражение и домножим его на функцию ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]\psi (x)=-xi\hbar {d \over dx}\psi (x)-(-i\hbar {d \over dx}(\psi (x)x))}$

применив правило дифференцирования сложной функции получим:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]\psi (x)=-xi\hbar {d \over dx}\psi (x)+xi\hbar {d \over dx}\psi (x)+\psi (x)i\hbar {d \over dx}\ x}$

сократим:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]\psi (x)=\psi (x)i\hbar }$

поделим обе части на функцию ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar }$

Таким образом, координата и импульс — сопряжённые величины.

Более того, операторы компонент импульса также коммутативны.

Можно показать, что преобразование Фурье импульса — это оператор координаты. Используя запись в виде бра и кет векторов:

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {d \over dx}\psi (x)}$

То же применимо и для оператора координаты в импульсном представлении:

${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {d \over dp}\psi (p)}$

и ещё одно важное соотношение:

${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {d \over dp}\delta (p-p')}$

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {d \over dx}\delta (x-x')}$

где ${\displaystyle \delta }$ отвечает дельта-функции Дирака.