Волновое уравнение

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Вид уравнения

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}

,

где $\Delta$ — оператор Лапласа, $u=u(x,t)$ — неизвестная функция, $t\in \mathbb {R}$ — время, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ — пространственная переменная, $v$ — фазовая скорость.

Вывод для трёхмерного случая.

Приведённые выкладки, конечно же, можно обобщить и на многомерные случаи. Итак.

Пусть дано уравнение плоской волны:

A({\vec {r}},t)=A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right),

где

$A(x,t)$ — величина возмущения в данной точке пространства $x$ и времени $t$ ;
$A_{0}$ — амплитуда волны;
$\omega$ — круговая частота;
${\vec {k}}$ — волновой вектор, равный $k{\vec {n}}$

где

$k$ — волновое число;
${\vec {n}}$ — единичный вектор нормали, проведённый к волновому фронту

${\vec {r}}\left(x,y,z\right)$ — радиус-вектор точки с координатами $x,y$ и $z$ ;
$({\vec {k}},{\vec {r}})$ — скалярное произведение векторов ${\vec {k}}$ и ${\vec {r}}$ . Здесь и далее скалярное произведение будет обозначаться таким образом;
$\varphi _{0}$ — начальная фаза колебаний.

Продифференцируем его по $x$ , по $y$ , по $z$ и по $t$ . Получим четыре уравнения:

\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-\omega ^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(1\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}=-k_{x}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{x}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(2\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{y}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(3\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}=-k_{z}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{z}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(4\right)\end{matrix}}\right.

Сложим $\left(2\right),\left(3\right)$ и $\left(4\right):$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}=-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})A({\vec {r}},t)=-{\vec {k}}^{2}\cdot A({\vec {r}},t)

Из полученного уравнения и уравнения $\left(1\right),$ заменив ${\cfrac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}},$ получаем, что

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}\Leftrightarrow \Delta A({\vec {r}},t)={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}

.

Данное уравнение можно трактовать следующим образом. Вторая производная координаты по времени — сила (второй закон Ньютона) — пропорциональна кривизне струны (вторая производная по координате). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" на струне, тем большая сила действует на данный участок струны.

Оператор Д’Аламбера

Разность $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ называется оператором Д’Аламбера и обозначается как $\square$ (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как

\square u=0

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f

,

где $f=f(x,t)$ — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

$u(x,t)=v(x)e^{i\omega t}\$ или $u(x,t)=v(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\$ .

Решение волнового уравнения

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны ( $\mathbb {R} ^{1}$ ) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны ( $\mathbb {R} ^{2}$ ) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения (здесь $v=a$ — фазовая скорость)

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad

(функция

f(x,t)

соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

имеет вид

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau

Интересно заметить, что решение однородной задачи

u_{tt}=a^{2}u_{xx}

,

имеющее следующий вид:

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }

,

может быть представлено в виде

u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)

,

где

f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha }

f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае решение задачи Коши также может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой $[0;+\infty )$

u_{tt}=a^{2}u_{xx}

с закрепленным концом:

u(0,t)=0

и начальными условиями

u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

\varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

\varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )

В силу того, что начальные условия $\varphi (x),\psi (x)$ — нечётные функции, логично ожидать, что и решение $u(x,t)$ будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию $u(0,t)=0$ (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце $x=0$ :

u_{x}(0,t)=0

.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области

Метод отражений

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

u_{tt}=a^{2}u_{xx}

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0

и начальными условиями

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)

используются ровно те же соображения, и функция $f(x,t)$ продолжается таким же образом.

Метод Фурье

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,l]$

u_{tt}=a^{2}u_{xx}

с однородными граничными условиями первого рода

u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0

и начальными условиями

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

X(x)T(t)

, где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция $u(x,t)=X(x)T(t)$ была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

X(0)=0\qquad X(l)=0

a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)

T''(t)=-\lambda T(t)

Решение задачи Штурма-Лиувилля на $X(x)$ приводит к ответу:

X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N}

и их собственным значениям $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Соответствующие им функции $T$ выглядят как

T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.

Разложив функции $\varphi (x),\psi (x)$ в ряд Фурье, можно получить коэффициенты $\alpha _{n},\beta _{n}$ , при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учёта волн

Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

u_{tt}=u_{xx},

однако на сей раз положим однородные начальные условия

u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)

Решение записывается в виде

u(x,t)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\mu (t-x-2ka)-\mu (t+x-(2k+2)a){\biggr ]}+\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (t-x-(2k+1)a){\biggr ]}

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

\mu (t-x),

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

\mu (t+x-2a),

через время а снова отражается и дает вклад

\mu (t-x-2a),

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке $[0,T]$ , то мы можем ограничиться лишь первыми $\lceil T/a\rceil$ слагаемыми.

См. также

Ссылки

Волновое уравнение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.