Уравнение переноса

Уравнение переноса — дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение скалярной величины в пространстве и времени.

Уравнение переноса имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =0,}$

где ${\displaystyle \nabla \cdot }$ — оператор дивергенции, а ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — вектор плотности потока скалярной величины ${\displaystyle \psi }$. Он равен произведению величины ${\displaystyle \psi }$ на вектор скорости потока: ${\displaystyle {\mathbf {F} }=\psi {\mathbf {u} }}$. Часто предполагается, что поле скоростей соленоидально, то есть ${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {u} }=0}$. В этом случае уравнение принимает вид:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0.}$

В одномерной постановке имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{u}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0.}$

И при постоянном значении ${\displaystyle u}$ имеет аналитическое решение:

${\displaystyle \psi (x,t)=\psi _{0}(x-ut),}$

где ${\displaystyle \psi _{0}}$ — произвольная гладкая (дифференцируемая) функция.