Уравнение Эйлера

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид

${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {dp}{dx}}.}$

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по ${\displaystyle x}$ при постоянной плотности жидкости ${\displaystyle \rho }$ получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}.}$

Пусть ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$. Используя известную формулу

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v} ,}$

перепишем соотношение в форме

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ]-\operatorname {grad} {\frac {p}{\rho }}.}$

Беря ротор и учитывая, что

${\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {grad} \phi =0,}$

а частные производные коммутируют, получаем что

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции ${\displaystyle w}$ следующим образом:

${\displaystyle dw=V\,dp+T\,ds=V\,dp}$ в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия ${\displaystyle s}$ постоянна.

Следовательно:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v} =-\operatorname {grad} w.}$

Используя известное соотношение

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v} }$

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера, получим искомое представление в виде

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {v} =\operatorname {rot} [\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ].}$