Уравнение Бюргерса

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.

В гидродинамике уравнение вводится так: пусть задана скорость течения жидкости u и её кинематическая вязкость ${\displaystyle \nu }$. Тогда в общем виде уравнение Бюргерса записывается так:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.

Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть ${\displaystyle \nu =0}$, уравнение приобретает вид:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$.

В этом случае мы получаем уравнение Хопфа — квазилинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее разрывные течения или течения с ударными волнами.

Если ${\displaystyle \nu }$ вещественно и не равно ${\displaystyle 0}$, уравнение сводится к случаю ${\displaystyle \nu =1}$ : для ${\displaystyle \nu <0}$ нужно сначала сделать замену ${\displaystyle u\to -u}$, ${\displaystyle x\to -x}$, и для любого знака ${\displaystyle \nu }$: ${\displaystyle u\to {\sqrt {|\nu |}}\,u}$, ${\displaystyle x\to {\sqrt {|\nu |}}\,x}$ .

Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа-Коула. Для этого (при ${\displaystyle \nu =1}$) нужно сделать замену функции:

${\displaystyle u={\frac {\partial \ln w}{\partial x}}=w_{x}/w}$ .

При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности:

${\displaystyle u(x,t)=2{\frac {\partial }{\partial x}}\ln {\Bigl \{}(4\pi t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4t}}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{x'}u(x'',0)dx''{\Bigr ]}dx'{\Bigr \}}.}$