Стохастическое дифференциальное уравнение

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Броуновское движение (на языке математики винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления (теория стохастических интегралов). В настоящее время используется две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно, без труда можно переписать СДУ в форме Ито в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

Так же как и для обычных дифференциальных уравнений, важно знать имеет ли СДУ решение и, если имеет, единственно ли это решение. Приведем формулировку теоремы существования и единственности для уравнения Ито. Доказательство можно найти в Øksendal (2003, § 5.2).

Пусть решение принимает значения в ${\displaystyle n}$-мерном эвклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, где определен ${\displaystyle m}$-мерный случайный процесс ${\displaystyle B}$, описывающий броуновское движение;

Пусть ${\displaystyle T>0}$, и пусть

${\displaystyle \mu$ :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}

${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}

— измеримые функции, для которых существуют константы ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ такие, что

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t){\big |}{\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}{\big |}\leq D|x-y|;}$

для всех ${\displaystyle t\in [0,T]}$ и всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$, где

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

Пусть ${\displaystyle Z}$ — случайная переменная, независимая от ${\displaystyle \sigma }$-алгебры, генерируемой процессом ${\displaystyle B_{s}}$, ${\displaystyle s\geq 0}$, и имеющая конечный второй момент:

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}}$ для ${\displaystyle t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{t}=Z;}$

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и ${\displaystyle t}$-непрерывное решение ${\displaystyle (t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )}$, такое что ${\displaystyle X}$ — адаптированный процесс к фильтрации ${\displaystyle F_{t}^{Z}}$, генерируемое ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle B_{s}}$, ${\displaystyle s\leq t}$, и

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

• Adomian, George. Stochastic systems (англ.). — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. — (Mathematics in Science and Engineering (169)).
• Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations (англ.). — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. — (Mathematics and its Applications (46)).
• Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (англ.). — Berlin: Springer, 2003.
• Teugels, J. and Sund B. (eds.). Encyclopedia of Actuarial Science (англ.). — Chichester: Wiley, 2004. — P. 523—527.
• C. W. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences (англ.). — Springer, 2004. — P. 415.
• Thomas Mikosch. Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View (англ.). — Singapore: World Scientific Publishing, 1998. — P. 212.
• Bachelier, L.,. Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis (англ.). — NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900.

• Уравнение Фоккера — Планка
• Уравнение Ланжевена