Параболическое уравнение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции ${\displaystyle u:R^{n}\rightarrow R}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

${\displaystyle \left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+\mathbf {b} \cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

где ${\displaystyle A=A^{T}}$.
Матрица ${\displaystyle A}$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна ${\displaystyle (n-1,0)}$, то есть матрица ${\displaystyle A}$ имеет одно собственное значение равное нулю и ${\displaystyle n-1}$ собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:

${\displaystyle Lu+a{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},t)}$,

где: ${\displaystyle L}$ — эллиптический оператор, ${\displaystyle a\neq 0}$.

Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.

• Для нахождения решений параболических уравнений, в том числе и абстрактных параболических уравнений, могут применяться методы теории полугрупп операторов.
• Для аналитического решения параболических уравнений в бесконечной области (задача Коши для параболического уравнения) используют специальную интегральную формулу[2].
• Для аналитического решения параболических уравнений в конечной области может применяться метод разделения переменных Фурье.
• Для численного решения параболических уравнений используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объёмов, а также их комбинации и другие численные методы, подходящие под решаемую задачу.

Для параболического уравнения вида:

${\displaystyle -a^{2}\Delta u+\partial _{t}u=0\ (x_{1},\ldots \,x_{n-1})\in \Omega }$

Решение ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n-1},t)}$ принимает своё максимальное значение либо при ${\displaystyle t=0}$, либо на границе области ${\displaystyle \Omega }$.

• Уравнения описывающие процессы конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай — уравнение теплопроводности.
• Система уравнений Навье-Стокса, описывающее движение жидкости и газов является системой параболических уравнений с дивергентными ограничениями.
• Для некоторых типов сред из уравнений Максвелла можно получить параболические уравнения относительно векторов ${\displaystyle \mathbf {A} }$ или ${\displaystyle \mathbf {E} }$.[3]

• Эллиптические уравнения
• Гиперболическое уравнение
• Автоволны