Уравнения Навье — Стокса

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

В случае несжимаемой жидкости система состоит из двух уравнений:

• уравнения движения,
• уравнения неразрывности.

В гидродинамике обычно уравнением Навье — Стокса называют только одно векторное уравнение движения[1][2][3][4][5][6]. Впервые уравнение Навье — Стокса было получено Навье (1822, несжимаемая жидкость[7]) и Пуассоном (1829, сжимаемая жидкость[8]), которые исходили из модельных представлений о молекулярных силах. Позже феноменологический вывод уравнения был дан Сен-Венаном[9] и Стоксом[10].

В векторном виде для жидкости они записываются следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+\nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {f}},}$

где ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, ${\displaystyle \Delta }$ — векторный оператор Лапласа, ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle \nu }$ — коэффициент кинематической вязкости, ${\displaystyle \rho }$ — плотность, ${\displaystyle p}$ — давление, ${\displaystyle {\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})}$ — векторное поле скорости, ${\displaystyle {\vec {f}}}$ — векторное поле массовых сил. Неизвестные ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}}$ являются функциями времени ${\displaystyle t}$ и координаты ${\displaystyle x\in \Omega }$, где ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n=2,\;3}$ — плоская или трёхмерная область, в которой движется жидкость.

Для несжимаемой жидкости уравнения Навье — Стокса следует дополнить уравнением несжимаемости:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}=0.}$

Обычно в систему уравнений Навье — Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:

${\displaystyle {\vec {v}}|_{\partial \Omega }=0,}$

${\displaystyle {\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.}$

Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

При учёте сжимаемости уравнения Навье — Стокса принимают следующий вид:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left\{\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right\}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\zeta {\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\delta _{ik}\right),}$

где ${\displaystyle \eta }$ — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость), ${\displaystyle \zeta }$ — «вторая вязкость», или объёмная вязкость, ${\displaystyle \delta _{ik}}$ — дельта Кронекера. Это уравнение при условии постоянства вязкостей ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle \zeta }$ сводится к векторному уравнению

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v}}+\left(\zeta +{\frac {\eta }{3}}\right)\nabla \operatorname {div} {\vec {v}}.}$

Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости примет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {v}})=0.}$