Оператор набла

Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если скалярно умножить вектор ${\displaystyle \nabla }$ на функцию ${\displaystyle \phi }$, то получится вектор

${\displaystyle \nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi }$,

который представляет собой градиент функции ${\displaystyle \phi }$.

Если вектор ${\displaystyle \nabla }$ скалярно умножить на вектор ${\displaystyle {\vec {a}}}$, получится скаляр

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}=\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {a}}}$,

то есть дивергенция вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$.

Если ${\displaystyle \nabla }$ умножить на ${\displaystyle {\vec {a}}}$ векторно, то получится ротор вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \partial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {a}}}$

• Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}}$ нередко пишут ${\displaystyle (\nabla ,{\vec {a}})}$, а вместо ${\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}}$ пишут ${\displaystyle [\nabla ,{\vec {a}}]}$; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также ${\displaystyle \ \Delta }$. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}$.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi +\phi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\psi }$

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi }$

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}={\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}\cdot \nabla }$

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)}$

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } \,(\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})}$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}}$

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0}$

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0}$

Два всегда совпадают:

${\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Три оставшихся связаны соотношением:

${\displaystyle (\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}}))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}$

Ещё одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})}$

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием ${\displaystyle \nabla }$ не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,

он не коммутирует с векторами:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}\neq {\vec {v}}\cdot \nabla }$,

ведь ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}}$ — это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot \nabla }$ представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

Можно дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, применив оба выражения к скалярной функции f:

${\displaystyle (\nabla \cdot {\vec {v}})f\neq ({\vec {v}}\cdot \nabla )f}$

так как

${\displaystyle (\nabla \cdot {\vec {v}})f=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f}$

${\displaystyle ({\vec {v}}\cdot \nabla )f=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$

Если бы набла был вектором, то смешанное произведение ${\displaystyle ({\vec {v}},\ \nabla ,\ {\vec {v}})\equiv {\vec {v}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})}$ было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:

${\displaystyle (\nabla x)\times (\nabla y)=\left({\vec {i}}\,{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\vec {j}}\,{\frac {\partial x}{\partial y}}+{\vec {k}}\,{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left({\vec {i}}\,{\frac {\partial y}{\partial x}}+{\vec {j}}\,{\frac {\partial y}{\partial y}}+{\vec {k}}\,{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)=}$

${\displaystyle =({\vec {i}}\cdot 1+{\vec {j}}\cdot 0+{\vec {k}}\cdot 0)\times ({\vec {i}}\cdot 0+{\vec {j}}\cdot 1+{\vec {k}}\cdot 0)={\vec {i}}\times {\vec {j}}={\vec {k}}}$

(здесь первый оператор набла действует только на поле x, а второй — только на 'y', что как бы жёстко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:

${\displaystyle ({\vec {u}}x)\times ({\vec {u}}y)=xy({\vec {u}}\times {\vec {u}})=xy{\vec {0}}={\vec {0}}}$

поскольку здесь x и y легко выносятся.

Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

${\displaystyle (\nabla ,[{\vec {u}},{\vec {v}}])=(\nabla ,[{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}},{\vec {v}}])+(\nabla ,[{\vec {u}},{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])=({\vec {v}},[\nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}}])-({\vec {u}},[\nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])={\vec {v}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {v}}}$

Если оператор не действует на некоторое поле, то вектор поля и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют). Векторы в смешанных произведениях примера вынесены влево от оператора и конечное выражение записано без стрелочек.

В 1853 году В. Р. Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ ${\displaystyle \nabla }$ в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах П. Г. Тэта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла[3].

Согласно некоторым источникам[4], ${\displaystyle \nabla }$ — буква финикийского алфавита, происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы, так как «ναβλα» (набла) на древнегреческом означает «арфа». Наблий — разновидность арфы[5].

1. ${\displaystyle z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\vec {i}}+x{\vec {j}}}$
2. ${\displaystyle z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}}$

• Оператор Д’Аламбера
• Дифференциальные операторы в различных системах координат