Производная Ли

Производная Ли тензорного поля $Q$ по направлению векторного поля $X$ — главная линейная часть приращения тензорного поля $Q$ при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем $X$ .

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается ${\mathcal {L}}_{X}Q$ .

Определения

Аксиоматическое

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

Производная Ли ${\mathcal {L}}_{X}f$ от скалярного поля $f$ есть производная $f$ по направлению $X$ .
${\mathcal {L}}_{X}f=Xf.$
Производная Ли ${\mathcal {L}}_{X}Y$ от векторного поля $Y$ есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля $Y$ по направлению поля $X$ ).
${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].$
Для произвольных векторных полей и 1-формы $\alpha$ выполняется равенство (тождество Картана)
$({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X).$
(правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется
${\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).$

Через поток

Пусть $M$ — $n$ -мерное гладкое многообразие и $X$ — векторное поле на $M$ .

Рассмотрим поток $\Gamma _{X}^{t}\colon M\to M$ по $X$ , определяемый соотношениями

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{X}^{t}(p)=X_{\Gamma _{X}^{t}(p)},\Gamma _{X}^{0}(p)=p

.

Обратное отображение к дифференциалу $\Gamma _{X}^{t}$ ,

(d_{p}\Gamma _{X}^{t})^{-1}\colon T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}\to T_{p}

однозначно продолжается до гомоморфизма $h_{t}$ алгебры тензоров над $T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}$ в алгебру тензоров над $T_{p}$ . Таким образом, произвольное тензорное поле $Q$ определяет однопараметрическое семейство полей $Q_{t}=h_{t}(Q)$ . Производная Ли может быть определена как

{\mathcal {L}}_{X}Q={\frac {d}{dt}}Q_{t}|_{t=0}

Выражения в координатах

{\mathcal {L}}_{\xi }f=\xi ^{k}\partial _{k}f,

где $f$ — скаляр.

{\mathcal {L}}_{\xi }y=\xi ^{k}\partial _{k}y^{i}-y^{k}\partial _{k}\xi ^{i},

где $y$ — вектор, а $y^{i}$ — его компоненты.

{\mathcal {L}}_{\xi }\omega =\xi ^{k}\partial _{k}\omega _{i}+\omega _{k}\partial _{i}\xi ^{k},

где $\omega$ — 1-форма, а $\omega _{i}$ — её компоненты.

{\mathcal {L}}_{\xi }g=\xi ^{k}\partial _{k}g_{ij}+\partial _{i}\xi ^{k}g_{kj}+\partial _{j}\xi ^{k}g_{ik},

где $g$ — метрический тензор, а $g_{ij}$ — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере $\{e_{\alpha }\}$ , тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

$({\mathcal {L}}_{X}K)_{(\beta )}^{(\alpha )}=XK_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}$ ,

где $(\alpha )=(\alpha _{1}...\alpha _{p}),(\beta )=(\beta _{1}...\beta _{q})$ и введены следующие обозначения:

$\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^{p}K_{(\beta )}^{\alpha _{1}...\sigma ...\alpha _{p}}P_{\sigma }^{\alpha _{s}}-\sum _{s=1}^{q}K_{\beta _{1}...\sigma ...\beta _{q}}^{(\alpha )}P_{\beta _{s}}^{\sigma }$ ,

$P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }\xi ^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }\xi ^{\sigma }$

$R_{\alpha \beta }^{\sigma }e_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]$ — объект неголономности.

Свойства

${\mathcal {L}}_{X}(s)$ $\mathbb {R}$ -линейно по $X$ и по $s$ . Здесь $s$ — произвольное тензорное поле.
Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
Пусть $v$ и $u$ — векторные поля на многообразии, тогда $[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]={\mathcal {L}}_{v}{\mathcal {L}}_{u}-{\mathcal {L}}_{u}{\mathcal {L}}_{v}$ есть дифференцирование алгебры $C^{\infty }(M)$ , поэтому существует векторное поле $[v,u]$ , для которого ${\mathcal {L}}_{[v,u]}=[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]$ . Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
Формула гомотопии (тождество Картана):
${\mathcal {L}}_{v}\omega =i_{v}d\omega +di_{v}\omega .$

Здесь

\omega

— дифференциальная

k

-форма,

i_{v}

— оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как

(i_{v}\omega )(X_{1},\dots ,X_{k-1})=\omega (v,X_{1},\dots ,X_{k-1})

.

Как следствие, ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)$
${\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)$ . Здесь $s$ — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения $F$ (например, любое тензорное поле), $X^{F}$ — поднятие векторного поля $X$ на $F$ , $\mathop {vpr} _{F}$ — оператор вертикального проектирования на $F$ . (См. далее)

Физический смысл производной Ли

Пусть векторное поле $V(x,t)$ есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства $x$ в каждый момент времени $t$ определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля $V(x,t)$ переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей $Q(x,t)$ из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения

Естественные расслоения

Пусть $F$ — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: $F\colon M\mapsto (F(M),M,\pi _{M}),\;\pi _{M}\colon F(M)\to M$ . Произвольное векторное поле $X\in TM$ порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов $\Gamma ^{t}:M\to M$ , продолжающуюся с помощью $F$ на пространство расслоения $F(M)$ , то есть $F(\Gamma ^{t}):F(M)\to F(M)$ . Производная этой группы в нуле даёт векторное поле $X^{F}\in TF(M)$ , являющееся продолжением $X$ . Группа $F(\Gamma ^{t})$ также позволяет определить производную Ли по $X$ от произвольных сечений $s:M\to F(M)$ по такой же формуле, как и в классическом случае:

{\mathcal {L}}_{X}(s)=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}F(\Gamma ^{t})^{*}s=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}(F(\Gamma ^{-t})\circ s\circ \Gamma ^{t})

{\mathcal {L}}_{X}(s)=Ts\circ X-X^{F}\circ s

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения $VF(M)$ , то есть ядра отображения $T\pi _{M}:TF(M)\to TM$ , так как $T\pi _{M}\circ {\mathcal {L}}_{X}(s)=0_{M}$ . Если $F$ — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм $vl:F(M)\times _{M}F(M)\simeq VF(M)$ . Оператор вертикального проектирования $vpr_{F}=\mathrm {pr} _{2}\circ vl^{-1}$ позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

{\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)

Производная Ли по формам

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид $i_{K}$ , где $K\in TM\otimes \Lambda ^{*}(M)$ — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования $i_{K}$ определяется по формуле $(\omega \in \Lambda ^{p+1}(M))$

i_{K}\omega =\mathrm {Alt} (\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))

Здесь $\mathrm {Alt}$ — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме $K$ определяется через суперкоммутатор операторов:

{\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование $D$ супералгебры $\Lambda ^{*}(M)$ однозначно представимо в виде $D={\mathcal {L}}_{K}+i_{S}$ , где $K$ , $S$ — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле $[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{S}]={\mathcal {L}}_{[K,S]}$ можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература

Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351. Архивная копия от 30 марта 2017 на Wayback Machine

См. также

Поле Киллинга

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.