Инвариантная производная по времени

Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы. В самой инерциальной системе инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$. В неинерциальной системе инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ и дополнительных слагаемых, связанных со скоростью ${\displaystyle V^{i}}$ движения неинерциальной системы относительно инерциальной. Поле скоростей может быть неоднородным ${\displaystyle V^{i}(x)}$ и в общем случае зависеть от времени ${\displaystyle V^{i}(x,t)}$. Так, например, в неинерциальной системе, связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей ${\displaystyle V^{i}(x,t)}$ есть относительная скорость движения координатных систем, которые не являются материальными объектами, то эта скорость по величине может превышать скорость света и даже быть бесконечной. Никакого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не возникает. Например, поле скоростей неинерциальной системы, связанной с вращающимся колесом, на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.

Обозначим посредством ${\displaystyle {\bar {x}}}$ координаты в инерциальной системе, а ${\displaystyle x({\bar {x}},t)}$ — координаты в неинерциальной. Тогда скорость движения неинерциальной системы относительно инерциальной есть

${\displaystyle V^{i}(x,t)={\frac {\partial x^{i}({\bar {x}},t)}{\partial t}}}$

Инвариантная производная по времени от скаляра ${\displaystyle F(x,t)}$ в неинерциальной системе есть:

${\displaystyle D_{t}F(x,t)={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\partial F}{\partial x^{i}}}}$.

Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые, связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую ${\displaystyle {\bar {x}}\to x({\bar {x}},t)}$. Так, например, для векторов и ковекторов имеем:

${\displaystyle A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}}$;

${\displaystyle A_{i}={\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}{\bar {A}}_{j}}$.

Следовательно,

${\displaystyle D_{t}A^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{j}}}-A^{j}{\frac {\partial V^{i}}{\partial x^{j}}}}$;

${\displaystyle D_{t}A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+A_{j}{\frac {\partial V^{j}}{\partial x^{i}}}}$.

Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.

Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные, согласованные с метрикой пространства ${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$, то есть

${\displaystyle D_{t}A^{i}=\partial _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j}^{i}}$,

${\displaystyle D_{t}A_{i}=\partial _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j}}$,

при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.

Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля ${\displaystyle V^{i}}$, которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).

Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся неинерциальной системе, — дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.