Векторный оператор Лапласа

Лапласиан любого тензорного поля ${\displaystyle \mathbf {T} }$ (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {T} )}$.

В случае если ${\displaystyle \mathbf {T} }$ — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если ${\displaystyle \mathbf {T} }$ — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =\left\{\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}\right\}={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}}$,

где ${\displaystyle T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{v}}{\partial u}}}$ (общий вид компоненты тензора), ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ могут принимать значения из множества ${\displaystyle \{x,y,z\}}$.

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}}$.

Данное выражение зависит от системы координат.