Оператор Лапласа — Бельтрами

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии ${\displaystyle M}$.

В координатах ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ где ${\displaystyle n=\dim M,}$ оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть ${\displaystyle (g_{ij})}$ — матрица метрического тензора риманова многообразия, ${\displaystyle (g^{ij})}$ — обратная матрица и ${\displaystyle g=\det(g_{ij})}$, тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид

${\displaystyle -\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggl (}g^{ij}{\sqrt {g}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\biggr )}.\qquad (*)}$