Конформное отображение

Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
• Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
• Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ при ${\displaystyle n\geq 3}$ можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
• Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ и ${\displaystyle g}$ — конформноэквивалентные метрические тензоры, то

  ${\displaystyle {\tilde {W}}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,}$

где ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ и ${\displaystyle W}$ обозначают тензоры Вейля для ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ и ${\displaystyle g}$ соответственно.

• Для конформно-эквивалентых метрик ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\psi }{\cdot }g}$

• Связности связаны следующей формулой:

  ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }X-g(X,Y){\cdot }\nabla \psi .}$

• Кривизны связаны следующей формулой:

  ${\displaystyle g({\tilde {R}}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-}$

  ${\displaystyle -Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}}$

если ${\displaystyle g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0}$ а ${\displaystyle Hess_{\psi }}$ обозначает Гессиан функции ${\displaystyle \psi }$.

• В двумерном случае ${\displaystyle |\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2}}$, поэтому формулу можно записать как

${\displaystyle e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangle _{g}\psi }$

где ${\displaystyle \triangle _{g}}$ обозначает лапласиан по отношению к ${\displaystyle g}$.

• Для ортонормированной пары векторов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, секционную кривизну в направленнии ${\displaystyle X\wedge Y}$ можно записать в следующем виде:

  ${\displaystyle {\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_{f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},}$

где ${\displaystyle f=e^{-\psi }}$.

• При вычислении скалярной кривизны ${\displaystyle n}$-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде ${\displaystyle {\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g}$. В этом случае:

  ${\displaystyle {\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{\frac {n-2}{n+2}}}$

Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
• Инверсия — конформное отображение второго рода;
• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
• Стереографическая проекция.

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

• Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
• Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
• Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
• Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
• Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.

• Условия Коши — Римана
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Шварца — Кристоффеля
• Диффеоморфизм
• Принцип соответствия границ

• Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.