Инверсия (геометрия)

Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Кардиоида — инверсия параболы

Определение

Инверсия

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность $\Gamma$ с центром $O$ (называемым полюсом инверсии, или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом $R$ . Инверсия точки $P$ относительно $\Gamma$ есть точка $P'$ , лежащая на луче $OP$ такая, что

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» $\infty$ и считают её инверсным образом $O$ , а $O$ — инверсным образом $\infty$ . В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства

Образ центра окружности не является центром образа

Инверсия относительно окружности $\Gamma$ с центром O обладает следующими основными свойствами:

Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).

d_{1}/d_{2}={\text{const}}

Инверсия относительно окружности Аполлония, определяемой равенством $k={\tfrac {PA}{PB}}$ , меняет местами точки $A$ и $B$ .
Окружность или прямая, перпендикулярная к $\Gamma$ , переходит в себя.

Замечание

В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
В теории окружностей и инверсии прямая перпендикулярна к окружности $\Gamma$ , если она проходит через центр последней.

Построение

Построение образа точки при инверсии относительно окружности

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом[1]:

Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'.
Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'.
Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)

.

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой $z=x+iy$ , то это выражение можно представить в виде

z\mapsto ({\bar {z}})^{-1}

,

где ${\bar {z}}$ — комплексно сопряжённое число для $z$ . Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке $O=(x_{0},y_{0})$ и радиусом $r$ задаётся соотношением

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right)

.

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса $r$ с центром в начале координат задаётся соотношением

(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )

.

Приложения

Применением инверсии решаются
- задача Аполлония,
- тождество Птолемея.

На свойствах инверсии основан механизм Липкина — Посселье.

Применением инверсии доказывается теорема Мора — Маскерони, которая утверждает, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)[2][3]

Существует доказательство свойств окружности Аполлония, основанное на свойстве инверсии.[4]

При помощи инверсии доказывается поризм Штейнера: в доказательстве используется тот факт, что для любых непересекающихся окружностей существует инверсия, превращающая их в концентрические.

При помощи инверсии доказывается то, что равны две архимедовы окружности-близнецы в арбелосе.[2]

При помощи инверсии доказываются свойства окружностей в поризме Паппа Александрийского.[2]

При помощи инверсии доказывается Теорема о бабочке.[2]

Вариации и обобщения

Инверсия относительно конического сечения

Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина $R$ будет (переменным) расстоянием от центра $O$ соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой $OP$ .

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка $P$ между асимптотами, возможен случай, когда прямая $OP$ не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления $R$ берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка $P$ не лежит на асимптоте), а соответствующая величина $R^{2}$ берётся со знаком минус, то есть луч $OP'$ направляется в сторону, противоположную лучу $OP$ .

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения ${\mathcal {K}}$ как середина хорды, высекаемой полярой точки $P$ относительно ${\mathcal {K}}$ на ${\mathcal {K}}$ . Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает ${\mathcal {K}}$ , для полноты определения приходится применять это, частичное, определение в обратную сторону (то есть $P'$ — это такая точка, что $P$ является серединой хорды, высекаемой полярой $P'$ на ${\mathcal {K}}$ ), что не всегда удобно.

См. также

Инверсная геометрия
Инверсия кривой

Примечания

Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 41—42. — 288 с.
Жижилкин, 2009.
Курант, 2000.
§ 124 «Геометрии» А. Ю. Давидова.

Ссылки

Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М.: МЦНМО, 2009.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М.: МЦМО, 2000. — С. Гл. III, § 4.. — ISBN 5–900916–45–6.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 41—42. — 288 с.

[_11de5b5a5f8052ca-2] Жижилкин, 2009.

[_8d24b58b602ac5c0-3] Курант, 2000.

[4] § 124 «Геометрии» А. Ю. Давидова.