Парабола

Квадратичная функция ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ при ${\displaystyle a\neq 0}$ также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и ${\displaystyle y=ax^{2},}$ но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

${\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a}},}$ где ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ может быть представлено в виде ${\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}},}$ а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом ${\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.}$

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ равен нулю.

Парабола в полярной системе координат ${\displaystyle (\rho ,\vartheta )}$ с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

${\displaystyle \rho (1+\cos \vartheta )=p,}$

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ известны координаты трёх различных точек параболы ${\displaystyle (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),}$ то его коэффициенты могут быть найдены так:

${\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}$

Если же заданы вершина ${\displaystyle (x_{0};y_{0})}$ и старший коэффициент ${\displaystyle a}$, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

${\displaystyle b=-2ax_{0}}$

${\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}$

${\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$

${\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$