Шары Данделена

Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.

Шары Данделена. Секущая плоскость касается шаров и не параллельна образующей конуса (коническое сечение — эллипс с фокусами в местах касания)
Положение и форма шаров Данделена при некоторых углах наклона секущей плоскости к оси конуса.

Описание

Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям и и касающиеся секущей плоскости в точках и . Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

Применение к построению сечений

Если взять произвольную точку на линии пересечения конуса и плоскости и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями и в точках и , то при перемещении точки , точки и будут перемещаться по окружностям и с сохранением расстояния .

Так как и  — отрезки двух касательных к сфере из одной точки , то и, аналогично, .

Таким образом точки на линии пересечения

  • имеют постоянную сумму и значит, что множество возможных точек  — это есть эллипс, а точки и  — его фокусы.
  • или имеют постоянную разницу и значит, что множество возможных точек  — это есть гипербола, а точки и  — её фокусы.

Плоскость пересекает плоскости, в которых лежат окружности и по прямым, являющимся директрисами конического сечения[1]:46,47. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть лежит на линии пересечения, - плоскость окружности . Пусть плоскости и пересекаются по прямой , - перпендикуляр из на , - перпендикуляр из на . Нетрудно заметить, что , где — угол между плоскостями и . , где — угол между осью конуса и его образующей. Перемножив два отношения, получим, что , то есть величина, не зависящая от выбора точки . Величина , обратная ей, называется эксцентриситетом коники. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности .) В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, , откуда , то есть . Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).

Примечания

  1. Погорелов А. В. Геометрия. М.: Наука, 1983. — 288 с.

Литература

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.