Шары Данделена

Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle C'}$ и касающиеся секущей плоскости в точках ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F'}$. Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

Если взять произвольную точку ${\displaystyle P}$ на линии пересечения конуса и плоскости ${\displaystyle e}$ и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle C'}$ в точках ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle Q'}$, то при перемещении точки ${\displaystyle P}$, точки ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle Q'}$ будут перемещаться по окружностям ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle C'}$ с сохранением расстояния ${\displaystyle QQ'}$.

Так как ${\displaystyle PQ}$ и ${\displaystyle PF}$ — отрезки двух касательных к сфере из одной точки ${\displaystyle P}$, то ${\displaystyle PQ=PF}$ и, аналогично, ${\displaystyle PQ'=PF'}$.

Таким образом точки на линии пересечения

• имеют постоянную сумму ${\displaystyle PF+PF'=PQ+PQ'=QQ'}$ и значит, что множество возможных точек ${\displaystyle P}$ — это есть эллипс, а точки ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F'}$ — его фокусы.
• или имеют постоянную разницу ${\displaystyle PF-PF'=PQ-PQ'=QQ'}$ и значит, что множество возможных точек ${\displaystyle P}$ — это есть гипербола, а точки ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F'}$ — её фокусы.

Плоскость ${\displaystyle e}$ пересекает плоскости, в которых лежат окружности ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle C'}$ по прямым, являющимся директрисами конического сечения[1]^:46,47. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости ${\displaystyle e}$ отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть ${\displaystyle P}$ лежит на линии пересечения, ${\displaystyle c}$ - плоскость окружности ${\displaystyle C}$. Пусть плоскости ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle e}$ пересекаются по прямой ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle PH}$ - перпендикуляр из ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle PK}$ - перпендикуляр из ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle c}$. Нетрудно заметить, что ${\displaystyle {\frac {PH}{PK}}=\sin \alpha }$, где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между плоскостями ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle e}$. ${\displaystyle {\frac {PK}{PF}}={\frac {PK}{PQ}}={\frac {1}{\cos \varphi }}}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между осью конуса и его образующей. Перемножив два отношения, получим, что ${\displaystyle {\frac {PH}{PF}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \varphi }}}$, то есть величина, не зависящая от выбора точки ${\displaystyle P}$. Величина ${\displaystyle {\frac {PF}{PH}}}$ , обратная ей, называется эксцентриситетом коники. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности ${\displaystyle C'}$.) В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }-\varphi }$, откуда ${\displaystyle {\frac {PF}{PH}}={\frac {\cos \varphi }{\sin \alpha }}=1}$, то есть ${\displaystyle PF=PH}$. Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).

• Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (pp. 3-16).
• Шаль М. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883.
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Глава 1 // Наглядная геометрия. — 3-е русск. изд. — М.: Наука, 1981.
• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. том 2 // Аналитическая геометрия. — М., Л.: Гостехиздат, 1949. — 516 с.
• Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.
• Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
• Ф. Нилов. Сферы Данделена на YouTube Лекция на Малом мехмате МГУ, 2011 г.

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Шары Данделена