Эллипс

Эллипс также можно определить как:

• фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
• ортогональную проекцию окружности на плоскость
• пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

${\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$

при инвариантах ${\displaystyle D>0}$ и ${\displaystyle \Delta I<0}$, где:

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2},}$

${\displaystyle I=tr{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}.}$

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и ${\displaystyle a_{33}=-1}$):

${\displaystyle \Delta =-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},}$

${\displaystyle D={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},}$

${\displaystyle I={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат[Комм. 1].

Для определённости положим, что ${\displaystyle 0<b\leqslant a}$. В этом случае величины ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса, можно вычислить:

• его фокальное расстояние и эксцентриситет ${\displaystyle \left|F_{1}F_{2}\right|=2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},\;\;\;e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1}$,
• координаты фокусов эллипса ${\displaystyle \left(ae,\,0\right),\left(-ae,\,0\right)}$.

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

${\displaystyle x={\frac {a}{e}},\;\;\;x=-{\frac {a}{e}}.}$

Фокальный параметр (т. е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$

Фокальные радиусы, т. е. расстояния от фокусов до произвольной точки кривой ${\displaystyle \left(x,\,y\right)}$:

${\displaystyle r_{1}=a+ex,\;\;\;r_{2}=a-ex.}$

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle y=-{\frac {b^{2}}{a^{2}k}}x.}$

Уравнение касательной к эллипсу в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ имеет вид:

${\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.}$

Условие касания прямой ${\displaystyle y=mx+k}$ и эллипса ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ записывается в виде соотношения ${\displaystyle k^{2}=m^{2}a^{2}+b^{2}}$.

Уравнение касательных, проходящих через точку ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$:

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {-x_{1}y_{1}\pm {\sqrt {b^{2}x_{1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}-a^{2}b^{2}}}}{a^{2}-x_{1}^{2}}}}$

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle y=kx\pm {\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}},}$

точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса, где касательная имеет угол с тангенсом, равным ${\displaystyle k}$):

${\displaystyle x=\mp {\frac {ka^{2}}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}},y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}}.}$

Уравнение нормали в точке ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right):}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {a^{2}y_{1}}{b^{2}x_{1}}}.}$

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\,\cos t\\y=b\,\sin t\end{cases}}\;\;\;0\leqslant t\leqslant 2\pi ,}$

где ${\displaystyle t}$ — параметр.

Только в случае окружности (то есть при ${\displaystyle a=b}$) параметр ${\displaystyle t}$ является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах ${\displaystyle \left(\rho ,\varphi \right)}$ будет иметь вид

${\displaystyle \rho ={\frac {p}{1\pm e\cos \varphi }},}$

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

Пусть r₁ и r₂ — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов. Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол ${\displaystyle \varphi }$ отсчитывается от направления на второй фокус. Тогда из определения эллипса следует, что

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$.

Отсюда ${\displaystyle r_{2}^{2}=\left(2a-r_{1}\right)^{2}=4a^{2}-4ar_{1}+r_{1}^{2}}$. С другой стороны, из теоремы косинусов

${\displaystyle r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+4c^{2}-4r_{1}c\cos \varphi .}$

Исключая ${\displaystyle r_{2}}$ из последних двух уравнений, получаем

${\displaystyle r_{1}={\frac {a^{2}-c^{2}}{a-c\cos \varphi }}={\frac {a(1-(c/a)^{2}}{1-c/a\cos \varphi }}.}$

Учитывая, что ${\displaystyle p=a(1-e^{2})}$ и ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$, получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах ${\displaystyle \left(\rho ,\varphi \right)}$ будет иметь вид

${\displaystyle \rho ={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\varphi +b^{2}\cos ^{2}\varphi }}}.}$

Длина дуги эллипса (s) в зависимости от его параметра (θ)

${\displaystyle L\approx 4{\frac {\pi ab+(a-b)^{2}}{a+b}}.}$

Максимальная погрешность этой формулы ${\displaystyle \approx 0{,}63\ \%}$ при эксцентриситете эллипса ${\displaystyle \approx 0{,}988}$ (соотношение осей ${\displaystyle \approx 1/6{,}5}$). Погрешность всегда положительна.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула: ${\displaystyle L\approx 4\cdot \left(a^{x}+b^{x}\right)^{\left(1/x\right)}}$, где ${\displaystyle x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2}}}}.}$ Максимальная погрешность этой формулы ${\displaystyle \approx 0{,}36\ \%}$ при эксцентриситете эллипса ${\displaystyle \approx 0{,}980}$ (соотношение осей ${\displaystyle \approx 1/5}$) Погрешность также всегда положительна.

Существенно лучшую точность при ${\displaystyle 0{,}05<a/b<20}$ обеспечивает формула Рамануджана: ${\displaystyle L\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right].}$

При эксцентриситете эллипса ${\displaystyle \approx 0{,}980}$ (соотношение осей ${\displaystyle \approx 1/5}$) погрешность составляет ${\displaystyle \approx 0{,}02\ \%}$. Погрешность всегда отрицательна.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана: ${\displaystyle L\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right].}$

Джеймс Айвори[1] и Фридрих Бессель[2] независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

${\displaystyle L=\pi (a+b)\left[1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)\cdot 2^{n}\cdot n!}}\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{n}\right]^{2}\right]}$

Альтернативная формула

${\displaystyle L={\frac {2\pi aN(1-e^{2})}{M({\sqrt {1-e^{2}}})}},}$

где ${\displaystyle M(x)}$ — Арифметико-геометрическое среднее 1 и ${\displaystyle x}$, а ${\displaystyle N(x)}$ — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и ${\displaystyle x}$, которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.[3]