Уравнение четвёртой степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция $f(x)$ является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если $a>0$ , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если $a<0$ , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ связаны с коэффициентами $a,\,b,\,c,\,d,\,e$ следующим образом:

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{3}\,x_{4}={\frac {c}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}=-{\frac {d}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}={\frac {e}{a}}.

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.[3]

Решения

Решение через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

x^{4}+px^{2}+qx+r=0

сводится к решению кубической резольвенты

y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0

Корни резольвенты $y_{1},y_{2},y_{3}$ связаны с корнями исходного уравнения $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})

y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между $y_{i}$ и $x_{i}$ вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при $x^{3}$ )

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0

сделаем подстановку $x=y-{\frac {b}{4a}}$ , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

y^{4}+py^{2}+qy+r=0,

где

p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},

q={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},

r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.

Корни $y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}$ такого уравнения равны одному из следующих выражений:

\pm {\sqrt {z_{1}}}

\pm {\sqrt {z_{2}}}

\pm {\sqrt {z_{3}}},

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

(\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q}{8}},

причём $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$ — это корни кубического уравнения

z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}}{64}}=0.

Решение Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ может быть найдено по методу Феррари. Если $y_{1}$ — произвольный корень кубического уравнения

y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0,

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение[4] — уравнение четвёртой степени вида $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ , где $a,b,c$ — заданные комплексные числа и $a\not =0$ . Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой $y=x^{2};y\geqslant 0$ оно сводится к квадратному уравнению относительно $y$ .

Четыре его корня находятся по формуле

x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ такого, что $a\neq 0$ , решение находится приведением к виду:

a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0

,

После замены $t={x+{1 \over x}}$ ищется решение квадратного уравнения $at^{2}+bt+c-2a=0$ , а затем — квадратного уравнения $x^{2}-tx+1=0$ .

Примечания

Ferrari biography
«Великое искусство» (Ars magna, 1545)
Стюарт, Ян. Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида

Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9.
Лекция 4 в кн.: Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — М.: МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Ссылки

Решение Феррари (англ.). Дата обращения: 27 сентября 2009. Архивировано 19 февраля 2012 года.
Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Biquadratic equation (англ.) на сайте PlanetMath.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Ferrari biography

[2] «Великое искусство» (Ars magna, 1545)

[3] Стюарт, Ян. Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)

[4] В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида