Уравнение четвёртой степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени связаны с коэффициентами следующим образом:

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.[3]

Решения

Решение через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

сводится к решению кубической резольвенты

Корни резольвенты связаны с корнями исходного уравнения (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между и вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при )

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

сделаем подстановку , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

где

Корни такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

причём  — это корни кубического уравнения

Решение Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида может быть найдено по методу Феррари. Если  — произвольный корень кубического уравнения

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение[4] — уравнение четвёртой степени вида , где  — заданные комплексные числа и . Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой оно сводится к квадратному уравнению относительно .

Четыре его корня находятся по формуле

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду:

,

После замены ищется решение квадратного уравнения , а затем — квадратного уравнения .

Примечания

  1. Ferrari biography
  2. «Великое искусство» (Ars magna, 1545)
  3. Стюарт, Ян. Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
  4. В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида

Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 2003. — 832 с. 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9.
  • Лекция 4 в кн.: Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. М.: МЦНМО, 2011. — 512 с. 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.