Ars Magna (Кардано)

В 1535 году итальянский математик Никколо Тарталья прославился тем, что нашёл способ решения в явной форме кубических уравнений вида ${\displaystyle x^{3}+ax=b}$ и ${\displaystyle x^{3}=ax+b,}$ где ${\displaystyle a,b>0}$ (отрицательные числа тогда считались недопустимыми, поэтому эти два типа уравнений рассматривались как существенно различные). Первый из этих двух типов уравнений сумел решить несколько ранее дель Ферро, который сохранил свой метод в тайне, однако Тарталья независимо сделал аналогичное открытие и расширил этот метод на оба указанных типа уравнений[6].

В 1539 году миланский математик Джероламо Кардано попросил Тарталью раскрыть ему свой метод. После некоторого сопротивления Тарталья согласился, но попросил Кардано ни с кем не делиться этой информацией, пока он сам её не опубликует. В течение следующих нескольких лет, Кардано работал над тем, как распространить формулу Тартальи на другие типы кубических уравнений. Более того, его ученик Лодовико Феррари нашёл способ решения уравнений четвёртой степени. Поскольку Тарталья не предпринял никаких усилий по публикации своего метода (и, кроме того, обнаружился приоритет дель Ферро), Кардано счёл себя свободным от обязательств и опубликовал собственный труд, честно указав при этом на авторство Тартальи и дель Ферро. Тем не менее исторически за этим алгоритмом закрепилось название «формулы Кардано»[7].

Книга, разделённая на сорок глав, содержит подробное описание способа алгебраического решения кубических уравнений, а также, с помощью вспомогательного кубического уравнения, и четвёртой степени. В предисловии Кардано признал, что автором формулы является Тарталья, и что эта же формула была открыта дель Ферро. Он также сообщил, что способ решения уравнений четвёртой степени открыл его ученик Феррари[8].

В Ars Magna впервые появляется понятие кратного корня (глава I). Кардано знал о возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня, а также о том, что сумма этих корней равна (по абсолютной величине) коэффициенту при ${\displaystyle x^{2}}$ (одна из формул Виета)[9]. Отрицательные корни Кардано, в духе того времени, называет «фиктивными» (fictae), хотя учитывал их при анализе уравнений и иногда использовал их как промежуточное средство для получения «истинного» (положительного) результата. Задолго до Декарта он сформулировал «правило знаков»[10]. Ему известен и факт, позднее обобщённый и названный теоремой Безу: многочлен ${\displaystyle p(x)}$ делится без остатка на двучлен ${\displaystyle x-r,}$ где ${\displaystyle r}$ — один из корней ${\displaystyle p(x)}$[8].

В начале трактата Кардано объясняет, как привести кубическое уравнение общего вида: ${\displaystyle ax^{3}\pm bx^{2}\pm cx\pm d=0}$ к каноническому виду (без члена ${\displaystyle bx^{2}}$). Поскольку в то время отрицательные коэффициенты не признавались, ему пришлось рассмотреть тринадцать различных типов кубических уравнений (главы XI – XXIII). В следующих главах, вплоть до главы XXXVIII, приводятся методы приближённого численного решения кубического уравнения методом хорд[8].

В современной записи формула Кардано для трёх корней уравнения ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$ имеет вид:

${\displaystyle x_{1,2,3}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},}$

Кардано, как ранее Тарталья, оставляет открытым вопрос, что делать с кубическим уравнением, для которого ${\displaystyle q^{2}/4+p^{3}/27<0,}$ из-за чего под знаком квадратного корня получается отрицательное число. Например, в главе I приводится уравнение ${\displaystyle x^{3}+9=12x}$, для которого ${\displaystyle q^{2}/4+p^{3}/27=-175.}$ Однако Кардано никогда не применял свою формулу в подобных случаях. Парадоксально, но как раз этот, «самый комплексный» случай, соответствует «самому вещественному» набору корней уравнения — все три корня получаются вещественными. Вскоре анализ этой ситуации (названной Casus irreducibilis, «неприводимый случай») привёл к началу легализации нового класса чисел; арифметика комплексных чисел впервые была раскрыта в «Алгебре» Бомбелли (1572) и в трактате Альбера Жирара «Новое открытие в алгебре» (1629)[3].

Математическая символика XVI века из книги Кардано: записано произведение
   ${\displaystyle (5+{\sqrt {-15}})}$
${\displaystyle \times (5-{\sqrt {-15}})}$
${\displaystyle =25-(-15)=40}$

Ars Magna содержит первое появление в математике комплексных чисел (глава XXXVII), однако оно ещё не было связано с формулами Кардано. Кардано поставил следующую задачу[11]: найти два числа ${\displaystyle a,b}$, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Ответ: ${\displaystyle a=5+{\sqrt {-15}};b=5-{\sqrt {-15}}.}$ Кардано назвал это решение «софистическим», потому что не видел в нём никакого реального смысла, но смело написал «тем не менее, мы будем работать» и формально подсчитал, что их произведение действительно равно 40. Затем Кардано говорит, что этот ответ «столь же тонок, сколь и бесполезен».

Глава XXXIX посвящена уравнениям четвёртой степени, для которых аналогично рассматриваются 20 разновидностей с положительными коэффициентами.

• Ars Magna в PDF-формате (лат.)
• Cardano, Gerolamo. Ars magna or The Rules of Algebra. — Dover, 1993. — 308 p. — ISBN 0-486-67811-3. (англ.)

• Гиндикин С. Г. Великое искусство // Рассказы о физиках и математиках. — издание 3-е, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 8—42. — 448 с. — ISBN 5-900916-83-9.
• Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джироламо Кардано. — М.: Знание, 1980. — 192 с. — (Творцы науки и техники).
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — 352 с.
• Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI—XVII веков. — М.: Наука, 1979. — С. 42—88. — 208 с. — (История науки и техники).
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960—1963. — Т. 1.

• Ars magna: Великое искусство (неопр.). История математики. Дата обращения: 22 апреля 2021.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Girolamo Cardano (англ.) — биография в архиве MacTutor.