Формула Кардано

Представим уравнение в виде

${\displaystyle \prod _{i=1}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)}$

где ${\displaystyle y_{i}}$ - корни уравнения. Тогда

${\displaystyle \prod _{i=1}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)}$

Примем:

${\displaystyle \ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)}$

Тогда, решая уравнение (3) получим

${\displaystyle \ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)}$

Одним из корней будет ${\displaystyle \ y=\alpha +\beta }$. Подставив его в исходное уравнение, получим:

${\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0}$

Подставляя q из (3), приходим к системе:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.}$

Зная, что в общем случае сумма ${\displaystyle \alpha +\beta }$ не равна нулю, получаем систему

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.}$

которая равносильна системе

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q=-n\end{matrix}}\right.}$

Последняя представляет собой формулы Виета для двух корней ${\displaystyle \alpha ^{3}}$ и ${\displaystyle \beta ^{3}}$ квадратного уравнения:

${\displaystyle \ z^{2}+nz+m=0}$

Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена

${\displaystyle \ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta }$