Дискриминант

Дискриминант квадратного трёхчлена ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ равен ${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$

• При ${\displaystyle D>0}$ трёхчлен будет иметь два вещественных корня:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.}$

• При ${\displaystyle D=0}$ — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):

  ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

• При ${\displaystyle D<0}$ вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряженных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}.}$

Дискриминант кубического многочлена ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ равен

${\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd=27*(6a{\frac {b}{3}}{\frac {c}{3}}d-4(a({\frac {c}{3}})^{3}+({\frac {b}{3}})^{3}d)+3({\frac {b}{3}})^{2}({\frac {c}{3}})^{2}-a^{2}d^{2}).}$

В частности, дискриминант кубического многочлена ${\displaystyle x^{3}+px+q}$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен ${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}=-108(\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}).}$.

• При ${\displaystyle D>0}$ кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
• При ${\displaystyle D=0}$ он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
• При ${\displaystyle D<0}$ кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

Дискриминант многочлена четвёртой степени ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ равен

${\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}$

Для многочлена ${\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}$ дискриминант имеет вид

${\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}=256(s^{3}-18({\frac {q}{6}})^{2}s^{2}-27({\frac {r}{4}})^{4}-54({\frac {q}{6}})^{3}r^{2}+54({\frac {q}{6}})({\frac {r}{4}})^{2}s+81({\frac {q}{6}})^{4}s).}$

и равенство ${\displaystyle D=0}$ определяет в пространстве ${\displaystyle (q,r,s)}$ поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

• При ${\displaystyle D<0}$ многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
• При ${\displaystyle D>0}$ многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.

А именно, для многочлена ${\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}$:[2]

• если ${\displaystyle q\geqslant 0}$, то все корни комплексные,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}$, то все корни комплексные,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s<{\frac {q^{2}}{4}}}$, то все корни вещественные.

• При ${\displaystyle D=0}$ многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

Точнее:[2]

• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}}$, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}$, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}}$, то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
• если ${\displaystyle q>0}$, ${\displaystyle s>0}$ и ${\displaystyle r\neq 0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
• если ${\displaystyle q>0}$, ${\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}$ и ${\displaystyle r=0}$, то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2,
• если ${\displaystyle q>0}$ и ${\displaystyle s=0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
• если ${\displaystyle q=0}$ и ${\displaystyle s>0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
• если ${\displaystyle q=0}$ и ${\displaystyle s=0}$, то один вещественный корень кратности 4.