Расширение поля

Если ${\displaystyle E}$ — поле, его подполе — это его подмножество ${\displaystyle K}$, замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле ${\displaystyle E}$. В этом случае ${\displaystyle E}$ называется расширением поля ${\displaystyle K}$, заданное расширение обычно обозначают ${\displaystyle E\supset K}$ (также используются обозначения ${\displaystyle E/K}$ и ${\displaystyle K\subset E}$). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения ${\displaystyle E\supset K}$ эквивалентно заданию гомоморфизма ${\displaystyle f:K\to E}$.

Если задано расширение ${\displaystyle E\supset K}$ и подмножество ${\displaystyle S}$ поля ${\displaystyle E}$, то наименьшее подполе ${\displaystyle E}$, содержащее ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle S}$, обозначается ${\displaystyle K(S)}$ и называется полем, порождённым множеством ${\displaystyle S}$ над полем ${\displaystyle K}$. Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями. Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом.

Для любого расширения ${\displaystyle E\supset K}$ ${\displaystyle E}$ является векторным пространством над полем ${\displaystyle K}$. В этой ситуации элементы ${\displaystyle E}$ можно понимать как «векторы», а элементы ${\displaystyle K}$ — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле ${\displaystyle E}$. Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается ${\displaystyle [E:K]}$. Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

Поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ является расширением поля действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Это расширение конечно: ${\displaystyle [\mathbb {C}$ :\mathbb {R} ]=2} , так как ${\displaystyle (1,i)}$ является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума, поэтому это расширение бесконечно.

Множество ${\displaystyle \{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}}$ является расширением поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, которое, очевидно, является простым. Конечные расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена ${\displaystyle f(x)}$ — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу, порожденному ${\displaystyle f(x)}$. Например, пусть поле ${\displaystyle K}$ не содержит корня уравнения ${\displaystyle x^{2}=-1}$. Следовательно, многочлен ${\displaystyle x^{2}+1}$ является неприводимым в ${\displaystyle K}$, следовательно, идеал ${\displaystyle (x^{2}+1)}$ — максимальный, а значит факторкольцо ${\displaystyle K[x]/(x^{2}+1)}$ является полем. Это поле содержит корень уравнения ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ — образ многочлена ${\displaystyle x}$ при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.

Пусть ${\displaystyle E}$ — расширение поля ${\displaystyle K}$. Элемент ${\displaystyle E}$ называется алгебраическим над ${\displaystyle K}$, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в ${\displaystyle K}$. Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения ${\displaystyle \mathbb {C} \supset \mathbb {R} }$ мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению ${\displaystyle x^{2}+1=0}$.

Особенно важен частный случай расширений ${\displaystyle \mathbb {C} \supset \mathbb {Q} }$: термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения ${\displaystyle E\supset K}$ является алгебраическим над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle E\supset K}$ называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество ${\displaystyle S}$ поля ${\displaystyle E}$ называется алгебраически независимым над ${\displaystyle K}$, если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в ${\displaystyle K}$, такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из ${\displaystyle S}$ получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество ${\displaystyle S}$, такое что ${\displaystyle E\supset K(S)}$ является алгебраическим расширением. Множество ${\displaystyle S}$, удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы ${\displaystyle E\supset K}$, являющиеся алгебраическими над ${\displaystyle K}$ — это сами элементы ${\displaystyle K}$.

Алгебраическое расширение ${\displaystyle E\supset K}$ называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен ${\displaystyle f(x)}$ над ${\displaystyle K}$, имеющий хотя бы один корень в ${\displaystyle E}$, разлагается в ${\displaystyle E}$ на линейные множители.

Алгебраическое расширение ${\displaystyle E\supset K}$ называется сепарабельным, если каждый элемент ${\displaystyle E}$ является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения ${\displaystyle E\supset K}$ можно рассмотреть группу автоморфизмов поля ${\displaystyle E}$, действующих тождественно на поле ${\displaystyle K}$. Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения ${\displaystyle E\supset K}$ часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя ${\displaystyle E}$, содержащие ${\displaystyle K}$). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — т. 1. — М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.