Нормальное расширение
Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля для которого каждый неприводимый многочлен над , имеющий хотя бы один корень в , разлагается в на линейные множители.
Равносильное определение: Если , где — алгебраическое замыкание поля , то нормально, если любой изоморфизм поля в алгебраическое замыкание над является автоморфизмом поля .
Нормальное расширение как поле разложения
Всякое расширение является нормальным тогда и только тогда, когда является полем разложения некоторого множества многочленов из .
Нормальные расширения в соответствии Галуа
Если — расширение Галуа поля , а — какое-нибудь промежуточное подполе , то группа Галуа по определению состоит из всех автоморфизмов , оставляющих элементы неподвижными. Если — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа , отображающий на то, очевидно, что
Поэтому расширение нормально тогда и только тогда, когда подгруппа является нормальной подгруппой в (отсюда и терминология).
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1967.