Нормальная подгруппа

Подгруппа ${\displaystyle N}$ группы ${\displaystyle G}$ называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента ${\displaystyle n}$ из ${\displaystyle N}$ и любого ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ элемент ${\displaystyle gng^{-1}}$ лежит в ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle N\triangleleft G\,\iff \,\forall \,n\in N,\forall \ g\in G}$ ${\displaystyle gng^{-1}\in {N}.}$

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

1. Для любого ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$.
2. Для любого ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$.
3. Множества левых и правых смежных классов ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle G}$ совпадают.
4. Для любого ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gN=Ng}$.
5. ${\displaystyle N}$ изоморфна объединению классов сопряжённых элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

• ${\displaystyle \{e\}}$ и ${\displaystyle G}$ — всегда нормальные подгруппы ${\displaystyle G}$. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа ${\displaystyle G}$ называется простой.

• Центр группы — нормальная подгруппа.

• Коммутант группы — нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

• Все подгруппы ${\displaystyle N}$ абелевой группы ${\displaystyle G}$ нормальны, так как ${\displaystyle gN=Ng}$. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

• Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
• Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если ${\displaystyle p}$ — наименьший простой делитель порядка ${\displaystyle G}$, то любая подгруппа индекса ${\displaystyle p}$ нормальна.
• Если ${\displaystyle N}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$, то на множестве левых (правых) смежных классов ${\displaystyle G/N}$ можно ввести групповую структуру по правилу

${\displaystyle (g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N}$

Полученное множество называется факторгруппой ${\displaystyle G}$ по ${\displaystyle N}$.

• ${\displaystyle N}$ нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах ${\displaystyle G/N}$.
• Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.