Простая группа

Циклическая группа ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$ проста. Действительно, если ${\displaystyle H}$— подгруппа ${\displaystyle G}$, то порядок ${\displaystyle H}$ по теореме Лагранжа должен делить порядок ${\displaystyle G}$, равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть ${\displaystyle H}$ либо тривиальна, либо совпадает с ${\displaystyle G}$. Наоборот, группа ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа ${\displaystyle A_{5}}$ порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна ${\displaystyle A_{5}}$. Более того, простыми являются все группы ${\displaystyle A_{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 5}$. Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после ${\displaystyle A_{5}}$— специальная проективная группа ${\displaystyle PSL(2,7)}$ порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна ${\displaystyle PSL(2,7)}$.

Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества ${\displaystyle X}$; в частности, если множество ${\displaystyle X}$счётно, это бесконечная знакопеременная группа ${\displaystyle A_{\infty }}$. Ещё одним семейством примером служат ${\displaystyle PSL_{n}(\mathbb {F} )}$, где поле ${\displaystyle \mathbb {F} }$ бесконечно и ${\displaystyle n\geqslant 2}$.

Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.