Циклическая группа
Циклическая группа — группа , которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: .
Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению
Свойства
- Все циклические группы абелевы.
- Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе = со сложением по модулю n (её также обозначают ), а каждая бесконечная — изоморфна , группе целых чисел по сложению.
- В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
- Каждая подгруппа циклической группы циклична.
- У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера.
- Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
- Прямое произведение двух циклических групп порядков и циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
- Например, изоморфна , но не изоморфна .
- Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа , где p — простое число, или .
- Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
- Кольцо эндоморфизмов группы изоморфно кольцу . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов изоморфна .
Примеры
- Группа корней из единицы степени n по умножению.
- Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.
Доказательства
Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.
Доказательство. Пусть — циклическая группа и — подгруппа группы . Если группа тривиальна (состоит из одного элемента), то и циклична. Если — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что и не являются тривиальными.
Пусть — образующий элемент группы , а — наименьшее положительное целое число, такое что . Утверждение:
- Следовательно, .
- Пусть .
- .
- Согласно алгоритму деления с остатком
- .
- .
- Исходя из того, каким образом мы выбрали и того, что , делаем вывод, что .
- .
- Следовательно, .
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
- Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.