Порождающее множество группы

Пусть ${\displaystyle S}$ — подмножество группы ${\displaystyle G}$. Определим ${\displaystyle \langle S\rangle }$ — подгруппу, порождённую ${\displaystyle S}$, — как наименьшую подгруппу в ${\displaystyle G}$, содержащую все элементы ${\displaystyle S}$, то есть пересечение всех подгрупп, содержащих ${\displaystyle S}$. Эквивалентно, ${\displaystyle \langle S\rangle }$ — это подгруппа всех элементов ${\displaystyle G}$, которые могут быть представлены как конечные произведения элементов ${\displaystyle S}$ и их обратных.

Если ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$, то говорят, что ${\displaystyle S}$ порождает группу ${\displaystyle G}$. При этом элементы ${\displaystyle S}$ называются образующими группы. Если в группе ${\displaystyle G}$ можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой группой.

Для случая, когда ${\displaystyle G}$ является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества: ${\displaystyle S}$ порождает ${\displaystyle G}$ как полугруппу или моноид, если ${\displaystyle G}$ является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим ${\displaystyle S}$.

Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что ${\displaystyle S}$ является порождающим множеством, если каждый элемент ${\displaystyle G}$ можно представить как конечное произведение элементов из ${\displaystyle S}$. Для моноида можно сказать, что ${\displaystyle S}$ является порождающим множеством, если каждый элемент ${\displaystyle G}$, кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из ${\displaystyle S}$.

Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел ${\displaystyle (\mathbb {N} _{\geq 0},+)}$ порождающим множеством будет ${\displaystyle S=\{1\}}$, но для полугруппы ${\displaystyle (\mathbb {N} _{\geq 0},+)}$ ${\displaystyle S}$ уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ как группы ${\displaystyle \{1\}}$ является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.

• Граф Кэли
• Задание группы

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.