Упорядоченная группа

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: ${\displaystyle x\leqslant x}$.
2. Транзитивность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$, то ${\displaystyle x\leqslant z}$.
3. Антисимметричность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$, то ${\displaystyle x=y}$.
4. Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых ${\displaystyle x,y}$ либо ${\displaystyle x\leqslant y}$, либо ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

5. Если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то для любого z справедливы соотношения:

${\displaystyle x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.}$

Если все пять аксиом выполнены, то группа ${\displaystyle G}$ называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа[1].

Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать[2], например:

Если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d,}$ то ${\displaystyle a+c<b+d}$

Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена[3]. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.

Один из способов определить в произвольной группе ${\displaystyle G}$ линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

Пусть такое ${\displaystyle P}$ выделено. Определим линейный порядок в ${\displaystyle G}$ следующим образом[5]:

${\displaystyle x\leqslant y}$, если ${\displaystyle y-x\in P}$ (отметим, что из свойства (P3) следует, что если ${\displaystyle y-x\in P,}$ то и ${\displaystyle -x+y\in P,}$ даже если группа не коммутативна).

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры[5].

Определим абсолютную величину элементов группы: ${\displaystyle |x|=max(x,-x).}$ Здесь функция ${\displaystyle max}$ осуществляет выбор наибольшего значения.

Свойства абсолютной величины[6]:

• ${\displaystyle |x|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0.}$
• Для всех ненулевых ${\displaystyle x}$ и только для них ${\displaystyle |x|>0.}$
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |x|=|-x|.}$
• Неравенство треугольника: ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|.}$
• ${\displaystyle |x|\leqslant y}$ равносильно ${\displaystyle -y\leqslant x\leqslant y.}$

• Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
• Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
• Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.}$ Определим в ней множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу[7].
• Определим в аддитивной группе ${\displaystyle G}$ всех комплексных чисел множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов следующим образом: ${\displaystyle a+bi\in P,}$ если либо ${\displaystyle a>0,}$ либо ${\displaystyle a=0;b\geqslant 0.}$ Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает ${\displaystyle G}$ в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком[8]. В ней, например, ${\displaystyle 0<i<1,}$ причём сумма любого количества ${\displaystyle i}$ всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на ${\displaystyle i}$ неравенство ${\displaystyle i>0,}$ мы получим ошибочное неравенство ${\displaystyle -1>0}$. Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — 300 с..
• Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972. — 343 с.
• Линейно упорядоченная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 322.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 343 с.